Câu 4 (2,5 điểm). Cho ABC vuông tại 4 có đường cao AH. Biết 4B=3cm, AC =4cm. 1. Tính độ dài BC, AH. 2. Lấy điểm M bất kì trên đoạn thẳng CH ( M khác C và H). Đường thẳng qua M và vuông góc với đường thẳng BC cắt đường thẳng AB, AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng EA.EC=ED.EM.  3. Gọi F là giao điểm của 2 đường thẳng BE và CD. Chứng minh rằng BE.BF+CE.CA có giá trị không đổi khi M di chuyển trên đoạn thẳng CH. 

Giải thích các bước giải:

1) `ΔABC` vuông tại `A`

`=> BC^2=AB^2+AC^2` (định lý pytago)

`=> BC^2=3^2+4^2= 25`

`=> BC=5cm`

`ΔABC` vuông tại `A` có đường cao `AH`

`=> AB⊥AC; AH⊥BC`

Xét `ΔABH` và `ΔCBA` có:

`\hat{AHB}=\hat{BAC}=90^0 (AB⊥AC; AH⊥BC)`

`\hat{ABC}`: chung

`=>` $ΔABH\backsimΔCBA$ (g.g)

`=> \frac{AB}{BC}=\frac{AH}{AC}`

`=> \frac{3}{5}=\frac{AH}{4} => AH=2,4cm`

2) `AB⊥AC => BD⊥AC => \hat{DAC}=90^0`

`EM⊥BC =>\hat{EMC}=90^0`

Xét `ΔADE` và `ΔMCE` có:

`\hat{DAE}=\hat{EMC}=90^0`

`\hat{AED}=\hat{MEC}` (đối đỉnh)

`=>` $ΔADE\backsimΔMCE$ (g.g)

`=> \frac{EA}{EM}=\frac{ED}{EC}`

`=> EA.EC=ED.EM`

c) `CA⊥BD; DM⊥BC`

`=> CA, DM` là các đường cao của `ΔBCD`

mà `CA` cắt `DM` tại `E`

`=> E` là trực tâm `ΔBCD => BF⊥CD`

Xét `ΔBME` và `ΔBFC` có:

`\hat{BME}=\hat{BFC}=90^0 (ME⊥BC; BF⊥DC)`

`\hat{FBC}`: chung

`=>` $ΔBME\backsimΔBFC$ (g.g)

`=> \frac{BE}{BC}=\frac{BM}{BF} => BE.BF=BC.BM`  (1) 

Xét `ΔMEC` và `ΔABC` có:

`\hat{EMC}=\hat{BAC}=90^0 (ME⊥BC; AB⊥AC)`

`\hat{ACB}`: chung

`=>` $ΔMEC\backsimΔABC$ (g.g)

`=> \frac{CE}{BC}=\frac{MC}{AC} => CE.AC=BC.MC ` (2)

Từ (1) (2) `=> BE.BF+CE.AC=BC.BM+BC.MC`

                                          `= BC(BM+MC)`

                                          `=BC.BC=BC^2` 

Vậy `BE.BF+CE.CA` có giá trị không đổi khi `M` di chuyển trên đoạn thẳng `CH`.