Bài 4. (2,5 điểm) Cho $\triangle$ABC vuông tại A, đường cao AH (H$\in$BC). a) Chứng minh: $\triangle$HC đồng dạng với $\triangle$BAC. b) Chứng minh: $AB^2$= $HB.BC$ . Biết AB = 6cm, AC =8cm. Tính AH  c) Lấy hai điểm M,N lần lượt thuộc cạnh AB,AC sao cho: AM =$\frac{1}{3}$ AB. CN=$\frac{1}{3}$ AC Chứng minh tam giác MHN vuông tại H.

Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta AHC,\Delta BAC$ có:

Chung $\hat C$

$\widehat{AHC}=\widehat{BAC}(=90^o)$

$\to \Delta AHC\sim\Delta BAC(g.g)$

b.Xét $\Delta AHB,\Delta ABC$ có:
Chung $\hat B$

$\widehat{AHB}=\widehat{BAC}(=90^o)$

$\to \Delta BHA\sim\Delta BAC(g.g)$

$\to \dfrac{BA}{BC}=\dfrac{BH}{BA}$

$\to BA^2=BH\cdot BC\to BH=\dfrac{BA^2}{BC}$

Ta có: $BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=10, BH=\dfrac{BA^2}{BC}=3.6$ 

$\to AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=4.8$

c.Xét $\Delta AHB,\Delta AHC$ có:

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}(=90^o)$

$\widehat{HAB}=90^o-\hat B=\hat C$

$\to \Delta HAB\sim\Delta HCA(g.g)$

$\to \dfrac{HA}{HC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{\dfrac13AB}{\dfrac13AC}=\dfrac{AM}{CN}$

Mà $\widehat{BAH}=\widehat{HCA}\to \widehat{HAM}=\widehat{HCN}$

$\to\Delta HAM\sim\Delta HCN(c.g.c)$

$\to \widehat{AHM}=\widehat{CHN}$

$\to \widehat{MHN}=\widehat{AHM}+\widehat{AHN}=\widehat{CHN}+\widehat{AHN}=\widehat{AHC}=90^o$

$\to \Delta MHN$ vuông tại $H$