Câu 4. (2 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB= 8 cm, BC = 6 cm. Vẽ đường cao AH của tam giác ABD a) Chứng minh rằng $\triangle$ AHB đồng dạng $\triangle$BCD b) Chứng minh $AD^2$ = DH. DB c) Tính độ dài các đoạn thẳng DH và AH.

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a) ABCD$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow AB//CD, AD=BC=6(cm), \widehat{C}=\widehat{DAB}=90^\circ$

Xét $\Delta AHB$ và $\Delta BCD$

$\widehat{B_1}=\widehat{D_1} (AB//CD)\\ \widehat{AHB}=\widehat{C}=90^\circ\\ \Rightarrow \Delta AHB \backsim \Delta BCD (g.g)$

$b)$ Xét $\Delta DHA$ và $\Delta DAB:$

$\widehat{D_2}:$ chung

$\widehat{DHA}=\widehat{DAB}=90^\circ\\ \Rightarrow \Delta DHA \backsim \Delta DAB (g.g)\\ \Rightarrow \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{DH}{AD}\\ \Rightarrow AD^2=DB.DH$

$c) \Delta ABD$ vuông tại $A$

$\Rightarrow DB^2=AB^2+AD^2 (Pytago)\\ \Rightarrow DB=\sqrt{AB^2+AD^2}=10(cm)\\ AD^2=DB.DH\\ \Rightarrow DH=\dfrac{AD^2}{DB}=\dfrac{18}{5}(cm)$

$\Delta AHD$ vuông tại $H$

$\Rightarrow AH=\sqrt{AD^2-DH^2}=\dfrac{24}{5}(cm).$