Câu 3. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC, đường cao AH, Gọi E; F lần lượt là các hình chiếu của điểm H trên AB và AC. 1) Chứng minh : $\triangle$ABC $\backsim$ $\triangle$HBA từ đó suy ra AB^2 = BC.BH. 2) Chứng minh: AE.AB = AF. AO 3) Gọi O là trung điểm của BC, qua H kẻ đường thẳng song song với EF, cắt AC tại M. Gọi K là giao của AO và HM. Biết $\frac{S_{MKA}}{x_{AHC}}$= $\frac{1}{4}$.Tinh số đo góc B và C của tam giác ABC.

Giải thích các bước giải:

1) `ΔABC` vuông tại `A` có đường cao `AH`

`=> AB⊥AC; AH⊥BC`

`=> \hat{BAC}=\hat{AHB}=90^0`

Xét `ΔABC` và `ΔHBA` có:

` \hat{BAC}=\hat{AHB}`

`\hat{ABC}`: chung

`=>` $ΔABC\backsimΔHBA$ (g.g)

`=> \frac{AB}{BH}=\frac{BC}{AB} => AB^2=BH.BC`

2) Gọi `I` là giao điểm của `EF` và `AH`

`E, F` lần lượt là hình chiếu của `H` trên `AB` và `AC`

`=> HE⊥AB; HF⊥AC => \hat{HEA}=\hat{HFA}=90^0`

`AB⊥AC => \hat{EAF}=90^0`

Xét tứ giác `AEHF` có:

`\hat{EAF}=\hat{HEA}=\hat{HFA}=90^0`

`=> AEHF` là hình chữ nhật

`=> I` là trung điểm của `EF` và `AH; EF=AH`

`=> IE=IH=IA=IF`

`=> ΔIAE` cân tại `I`

`=> \hat{IEA}=\hat{IAE}` hay `\hat{FEA}=\hat{BAH}`

$ΔABC\backsimΔHBA$ `=> \hat{ACB}=\hat{BAH}`

`=> \hat{FEA}=\hat{ACB}`

Xét `ΔAEF` và `ΔACB` có:

`\hat{BAC}`: chung

`\hat{FEA}=\hat{ACB}`

`=>` $ΔAEF\backsimΔACB$ (g.g)

`=> \frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB} => AE.AB=AF.AC`

3) `ΔABC` vuông tại `A` có `AO` là đường trung tuyến

`=> AO=1/2 BC =OB=OC`

`=> ΔAOC` cân tại `O`

`=> \hat{OAM}=\hat{OCA}` hay `\hat{KAM}=\hat{HCA}`

`IA=IF => ΔIAF` cân tại `I => \hat{IAF}=\hat{IFA}`

$HM//EF$ `=> \hat{IFA}=\hat{HMA}` (đồng vị)

`=> \hat{IAF}=\hat{HMA}` hay `\hat{HAC} =\hat{KMA}`

`=> ΔHAM` cân tại `H => HA=HM`

Xét `ΔMKA` và `ΔAHC` có:

`\hat{KAM}=\hat{HCA}`

`\hat{KMA}=\hat{HAC}`

`=>` $ΔMKA\backsimΔAHC$ (g.g)

`=> \frac{S_{MKA}}{S_{AHC}}=(\frac{MK}{AH})^2=1/4`

`=>\frac{MK}{AH}=1/2 => MK=1/2 AH`

mà `AH=HM => MK=1/2 HM`

`=> K` là trung điểm của `HM`

$ΔMKA\backsimΔAHC$ `=> \hat{MKA}=\hat{AHC}`

mà `\hat{AHC}=90^0 (AH⊥BC) => \hat{MKA}=90^0`

`=> AK⊥MH`

Xét `ΔAHM` có: `AK` vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

`=> ΔAHM` cân tại `A`

`=> AH=AM`

mà `AH=HM => AH=AM=HM`

`=> ΔAHM` đều `=> \hat{HAM}=60^0` hay `\hat{HAC}=60^0`

`ΔAHC` vuông tại `H => \hat{HAC}+\hat{C}=90^0`

`=> 60^0+\hat{C}=90^0 => \hat{C}=30^0`

`ΔABC` vuông tại `A => \hat{B}+\hat{C}=90^0`

`=> \hat{B}+30^0=90^0 => \hat{B}=60^0`