Bài 5 (2 diễm). 1) Cho n là một số nguyên dương không bé hơn 2022 thỏa mân $\frac{n-2022}{2122-n}$ là số chính phương. Tính tổng cả giá trị của n. 2) Với mỗi số nguyên dương n, ký hiệu$P_{m}$ là số nguyên tố lớn nhất không lớn hơn n; ký hiệu $q_{n}$ là số nguyên dương nhỏ nhất lớn hơn n. Tìm giá trị biểu thức.

Đáp án:

1.$8406$

Giải thích các bước giải:

1.Vì $\dfrac{n-2022}{2122-n}$ là số chính phương

$\to \dfrac{n-2022}{2122-n}\in Z$

$\to n-2022\quad\vdots\quad 2122-n$

$\to n-2122+100\quad\vdots\quad 2122-n$

$\to -(2122-n)+100\quad\vdots\quad 2122-n$

$\to 100\quad\vdots\quad 2122-n$

$\to 2122-n\in U(100)=5^2\cdot 2^2$

$\to 2122-n\in\{1, -1, 2, -2, 4, -4, 5, -5, 10, -10, 20, -20, 50, -50, 100, -100, 25, -25,\}$

$\to n-2122\in\{-1, 1, -2, 2,  -4, 4, -5, 5, -10, 10, -20, 20,  -50, 50, -100, 100, -25, 25\}$

$\to n-2122+100\in\{99, 101, 98, 102, 96, 104, 95, 105,90, 110 , 80,120,50, 150, 0,200, 75, 125\}$

$\to n-2022\in\{99, 101, 98, 102, 96, 104, 95, 105,90, 110 , 80,120,50, 150, 0,200, 75, 125\}$

$\to \dfrac{n-2022}{2122-n}\in\{99, -101, 49, -52, 24, -26, 19, -21, 9, -11, 4, -3, 1, -3, 0, -2, 3, -5\}$

Mà $\dfrac{n-2022}{2122-n}$ là số chính phương

$\to \dfrac{n-2022}{2122-n}\in\{49, 9, 4, 1\}$

$\to n\in\{2120,2112,  2102, 2072\}$

$\to$Tổng giá trị của $n$ là:

$$2120+2112+2102+2072=8406$$