Bài 6: ( 3 điểm )Cho $\triangle$ABC vuông tại A, có 4B < AC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AB = AD. a) Chứng minh $\triangle$ABC = $\triangle$ADC và $\triangle$BCD cân tại C. b) Vẽ đường trung tuyến DH của $\triangle$BCD cắt cạnh AC tại G. Chứng minh: DG =$\frac{2}{3}$DH c) Từ A vẽ đường thẳng song song với cạnh BC, đường thẳng này cắt cạnh DC tại M. Chứng minh: ba điểm B, G, M thẳng hàng.

Giải thích các bước giải:

a) `ΔABC` vuông tại `A => AB⊥AC => BD⊥AC`

Xét `ΔABC` và `ΔADC` có:

`AB=AD` (gt)

`\hat{BAC}=\hat{DAC}=90^0 (BD⊥AC)`

`AC`: chung

`=> ΔABC=ΔADC` (c.g.c)

`=> BC=DC => ΔBCD` cân tại `C`

b) `AB=AD => A` là trung điểm của `BD`

`=> CA` là đường trung tuyến của `ΔBCD`

Xét `ΔBCD` có:

`CA; DH` là các đường trung tuyến

`CA` cắt `DH` tại `G`

`=> G` là trọng tâm `ΔBCD`

`=> DG=2/3 DH`

c) `ΔABC=ΔADC => \hat{ACB}=\hat{ACD}; \hat{ABC}=\hat{ADC}`

$AM//BC$ `=> \hat{MAC}=\hat{ACB}` (so le trong)

                   `\hat{DAM}=\hat{ABC}` (đồng vị)

`=> \hat{MAC}=\hat{ACD}; \hat{DAM}=\hat{ADC}`

`=> ΔMAC` cân tại `M; ΔADM` cân tại `M`

`=> MA=MC; MA=MD`

`=> MC=MD => M` là trung điểm của `CD`

`=>` BM là đường trung truyến của `ΔBCD`

mà `G` là trọng tâm `ΔBCD `

`=> B, G,M` thẳng hàng