Bài 4 (3,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB= 9cm, AC=12cm. Vẽ tia phân giác góc B cắt cạnh AC vuông tại D. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA. Đường thẳng DE cắt đường thẳng  AB tại F a) Tính cạn BC của tam giác  b) Chứng minh DE vuông góc với BC. So sánh đoạn thẳng AD và DC. c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và CF. Chứng minh ba điểm M, D,N  thẳng hàng.

Giải thích các bước giải:

a) Xét `ΔABC` vuông tại `A` có:

`BC^2=AB^2+AC^2` (định lý pytago)

`=> BC^2=9^2+12^2=225`

`=> BC=15cm`

b) Xét `ΔABD` và `ΔEBD` có:

`AB=EB` (gt)

`\hat{ABD}=\hat{EBD} (BD` là phân giác của `\hat{ABC}`)

`BD`: chung

`=> ΔABD=ΔEBD` (c.g.c)

`=> AD=DE; \hat{BAD}=\hat{BED}`

mà  `\hat{BAD}=90^0 (ΔABC` vuông tại `A`)

`=> \hat{BED}=90^0 => DE⊥BC`

`=> ΔDEC` vuông tại `E => DE<DC (DC` là cạnh huyền)

mà `DE=AD => AD<DC`

c) Xét `ΔABE` có: `AB=BE`

`=> ΔABE` cân tại `B`

lại có `BM` là đường trung tuyến

`=> BM` là đường phân giác

`=> BM` là phân giác của `\hat{ABC}`

mà `BD` là phân giác của `\hat{ABC}`

`=> B, M, D` thẳng hàng  (1)

`ΔABC` vuông tại `A => AB⊥AC => AF⊥AC`

Xét `ΔAFD` và `ΔECD` có:

`\hat{FAD}=\hat{DEC}=90^0 (AF⊥AC; DE⊥BC)`

`AD=DE `

`\hat{ADF}=\hat{EDC}` (đối đỉnh)

`=> ΔAFD=ΔECD` (g.c.g)

`=> AF=EC` 

mà `AB=BE; AF+AB=BF; EC+BE=BC`

`=> BF=BC =>ΔBFC` cân tại `B`

lại có `BN` là đường trung tuyến

`=> BN` là đường phân giác

`=> BN` là phân giác của `\hat{BAC}`

mà `BD` là phân giác của `\hat{BAC}`

`=> B, N, D` thẳng hàng  (2)

Từ (1) (2) `=> M, N, D` thẳng hàng