Bài 4. (3,5 điểm) Cho $\triangle$ ABC vuông tại A (AB < AC), trung tuyển BM (M = AC), trung tuyến BM (M$\in$AC). Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MB =MD. a. Chứng minh `\triangle`ADM =`\triangle`CBM b. Chứng minh AC$\bot$CD c) Lấy điểm N là trung điểm của CD. BN và CM cắt nhau tại G. So sánh BG và CD. d)Cho AB=a; AC =2a Tính độ dài BN.

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a) BM$ là trung tuyến $\Delta ABC$

$\Rightarrow M$ là trung điểm $AC$

$\Rightarrow AM=CM$

Xét $\Delta ADM$ và $\Delta CBM:$

$AM=CM\\ \widehat{M_1}=\widehat{M_2} ( đ đ)\\ DM=BM\\ \Rightarrow \Delta ADM = \Delta CBM (c.g.c)\\ b)  \Delta ADM = \Delta CBM\\ \Rightarrow \widehat{A_1}=\widehat{C_1}, AD=CB$

Xét $\Delta ACB$ và $\Delta CAD:$

$AC:$ chung

$\widehat{A_1}=\widehat{C_1}\\ CB=AD\\ \Rightarrow \Delta ACB = \Delta CAD (c.g.c)\\ \Rightarrow \widehat{BAC}=\widehat{DCA}\\ \Rightarrow \widehat{DCA}=90^\circ\\ \Rightarrow AC \perp CD\\ c)  \Delta ACB = \Delta CAD \\ \Rightarrow AB=CD$

$\Delta BAG$ vuông tại $A$

$\Rightarrow BG>BA$

$\Rightarrow BG>CD$

$d) \Delta BDC$ có $G$ là trọng tâm

$\Rightarrow BG=\dfrac{2}{3}BN, CG=\dfrac{2}{3}CM=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}CA=\dfrac{1}{3}CA=\dfrac{2}{3}a\\ AG=AC-CG=\dfrac{4a}{3}$

$\Delta BAG$ vuông tại $A$

$\Rightarrow BG^2=AB^2+AG^2=\dfrac{25a^2}{9}\\ \Rightarrow BG=\dfrac{5a}{a}\\ BN=\dfrac{3}{2}BG=\dfrac{5a}{2}.$