Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn: x ² + y ²= 4 trong mỗi trường hợp sau : a) tiếp tuyến song song với đường thẳng d1: 3x - y + 17 = 0 b) tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d2:x + 2y - 5 = 0 c) tiếp tuyến đi qua điểm (2,-2) Câu c) ko nhất thiết phải làm cũng được nha, các bạn giải thích cách làm, phương pháp, dùng công thức gì kĩ giùm mình được không ạ? Thanks so much!

Đáp án + Giải thích các bước giải:

Ta có: $x^2 + y^2 = 4$

$\Rightarrow R = 2,$ tâm $I(0; 0)$

a) Gọi $\Delta_1: ax + by + c = 0$ là phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Ta có: Đường thẳng $\Delta_1 // d_1: 3x - y + 17 = 0$

$\Rightarrow \Delta_1: 3x - y + c = 0$
Ta có: $d(I, \Delta_1) = R = 2$
$\Rightarrow \dfrac{|3 . 0 - 0 + c|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = 2$
$\Leftrightarrow \dfrac{|c|}{\sqrt{10}} = 2$

$\Leftrightarrow |c| = 2\sqrt{10}$

$\Leftrightarrow c = \pm 2\sqrt{10}$
Vậy có 2 tiếp tuyến thoả mãn là $\Delta_1: 3x - y + 2\sqrt{10} = 0$ và $\Delta_1: 3x - y - 2\sqrt{10} = 0$

b)

Gọi $\Delta_2: ax + by + c = 0$ là phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Ta có: Đường thẳng $\Delta_2 \pm d_2: x + 2y - 5 = 0$

$\Rightarrow \Delta_2: 2x - y + c = 0$

Ta có: $d(I, \Delta_2) = R = 2$
$\Rightarrow \dfrac{|2 . 0 - 0 + c|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = 2$
$\Leftrightarrow \dfrac{|c|}{\sqrt{5}} = 2$

$\Leftrightarrow |c| = 2\sqrt{5}$

$\Leftrightarrow c = \pm 2\sqrt{5}$
Vậy có 2 tiếp tuyến thoả mãn là $\Delta_2: 2x - y + 2\sqrt{5} = 0$ và $\Delta_2: 2x - y - 2\sqrt{5} = 0$

c) Thay $x = 2, y = -2$ vào $x^2 + y^2$, ta có:

$x^2 + y^2 = 2^2 + (-2)^2 = 8 \ne 4$

$\Rightarrow (2, -2) \notin x^2 + y^2 = 4$
Gọi $\Delta_3: ax + by + c = 0$ là phương trình tiếp tuyến của đường tròn

$\Delta_3 \begin {cases} \text{đi qua }(2, -2) \\ \text{có vector pháp tuyến }\overrightarrow{n} = (a, b) \ne \overrightarrow{0} \end {cases}$

$\Rightarrow a(x - 2) + b(y + 2) = 0$

$\Leftrightarrow ax + by - 2a + 2b = 0$
Ta có: $d(I, \Delta_3) = R = 2$

$\Rightarrow \dfrac{|0a + 0b - 2a + 2b|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 2$

$\Rightarrow |-2a + 2b| = 2\sqrt{a^2 + b^2}$

$\Leftrightarrow |-a + b| = \sqrt{a^2 + b^2}$

$\Leftrightarrow (-a + b)^2 = a^2 + b^2$
$\Leftrightarrow a^2 - 2ab + b^2 = a^2 + b^2$

$\Leftrightarrow -2ab = 0$

$\Leftrightarrow ab = 0$

$\Leftrightarrow$ \(\left[ \begin{array}{l}a=0 \\b=0\end{array} \right.\) 

$TH_1: a = 0$

Chọn $b = 1$, thay vào $\Delta_3: ax + by - 2a + 2b = 0$ ta được $\Delta_3: y + 2 = 0$

$TH_2: b = 0$

Chọn $a = 1$, thay vào $\Delta_3: ax + by - 2a + 2b = 0$ ta được $\Delta_3: x - 2 = 0$

Vậy có 2 tiếp tuyến thoả mãn là $\Delta_3: y + 2= 0$ và $\Delta_3: x - 2 = 0$