Bài 3 (2,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân tại 4. Các đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I (D thuộc cạnh 4C, E thuộc cạnh AB). Lấy các điểm M và N sao cho BC là trung trực của đoạn thẳng IM và AC là trung trực của đoạn thẳng IN. a) (1 điểm) Tinh số đo của góc BIC. b) (1 điểm) Chứng minh rằng các tam giác IDC và NDC bằng nhau. c) (0,5 điểm) Chứng minh rằng ba điểm D, M, N thẳng hàng.

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a) \Delta ABC$ vuông cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ACB}=45^\circ$

$BD, CE$ lần lượt là phân giác $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

$\Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{C_1}=\widehat{C_2}=22,5^\circ\\ \Delta BIC, \widehat{B_1}+\widehat{C_1}+\widehat{BIC}=180^\circ\\ \Rightarrow \widehat{BIC}=180^\circ-(\widehat{B_1}+\widehat{C_1})=135^\circ$

$b) AC$ là trung trực $IN, D \in AC$

$\Rightarrow CI=CN, DI=DN$

Xét $\Delta IDC$ và $\Delta NDC$

$DC:$ chung

$IC=NC\\ ID=ND\\ \Rightarrow \Delta IDC = \Delta NDC (c.c.c)$

$c) BD$ cắt $NC$ tại $F, IM$ cắt $BC$ tại $G$

$\Delta IDC = \Delta NDC\\ \Rightarrow \widehat{C_3}=\widehat{C_2}=22,5^\circ\\ \Rightarrow \widehat{ICF}=45^\circ$

Mà $\widehat{I_1}=180^\circ - \widehat{BIC}=45^\circ$

$\Rightarrow \Delta IFC$ vuông tại $F$

$\Delta INC, D$ là trực tâm

$\Rightarrow ND \perp IC (1)$

$BC$ là trung trực $IM$

$\Rightarrow CI=CM$

Mà $CI=CN$

$\Rightarrow CM=CN$

$\Rightarrow \Delta CMN$ cân tại $C$

$CI=CM \Rightarrow \Delta CIM$ cân tại $C$

$\Rightarrow$ Đường cao $CG$ đồng thời là phân giác

$\widehat{C_4}=\widehat{C_1}=22,5^\circ\\ \widehat{C_1}=\widehat{C_2}=\widehat{C_3}=\widehat{C_4}=22,5^\circ\\ \Rightarrow \widehat{NCI}=\widehat{MCI}=45^\circ$

$\Rightarrow CI $ là phân giác $\widehat{NCM} $

Mà $\Delta CMN$ cân tại $C$

$\Rightarrow CI$ đồng thời là đường cao

$\Rightarrow CI \perp MN (2)$

$(1)(2) \Rightarrow D, M, N$ thẳng hàng.