Bài 4: (3,5 điểm) Cho $\triangle$ABC vuông tại A, AB=6cm, AC=8cm. Kẻ BD là tia phân giác $\widehat{ABC}$ (D$\in$AC). Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho AB=BE a) Tinh cạnh BC b). Chứng minh: $\triangle$ABD = $\triangle$EBD từ đó suy ra DE $\bot$ BC c). Chứng minh: DC > BD - BA d). Gọi N là giao điểm của BA và ED. M là trung điểm NC. Chứng minh rằng ba điểm: B, D, M thẳng hàng.

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a) \Delta ABC $ vuông tại $A$

$\Rightarrow BC^2=AB^2+AC^2 (Pytago)\\ \Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=10(cm)$

$b)$ Xét $\Delta ABD$ và $\Delta EBD:$

$BD:$ chung

$\widehat{B_1}=\widehat{B_2} (BD$ là phân giác)

$AB=BE\\ \Rightarrow \Delta ABD = \Delta EBD (c.g.c)\\ \Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{BED}\\ \Rightarrow \widehat{BED}=90^\circ\\ \Rightarrow DE \perp BC$

$c) \Delta DEC$ vuông tại $E$

$\Rightarrow DC>DE (1)$

$\Delta DBA$ vuông tại $A$

$\Rightarrow BD>BA$

Theo BĐT tam giác ta có: $AD>|BD-BA|=BD-BA (2)$

$\Delta ABD = \Delta EBD$

$\Rightarrow AD=DE (3)$

Từ $(1)(2)(3) \Rightarrow DC>BD-BA$

$d)$ Xét $\Delta BAC$ và $\Delta BEN$

$\widehat{BAC}=\widehat{BEN}=90^\circ$

$\widehat{ABC}:$ chung

$BA=BE$

$\Rightarrow \Delta BAC = \Delta BEN$ (cạnh góc vuông - góc nhọn)

$\Rightarrow BC=BN$

$\Rightarrow \Delta BCN$ cân tại $B$

$\Rightarrow$ Trung tuyến $BM$ đồng thời là phân giác $\widehat{NBC}$ hay $\widehat{ABC}$

Mà $BD$ cũng là phân giác $\widehat{ABC}$

$\Rightarrow B,D,M$ thẳng hàng.