Bài 3 (4.0 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Kẻ đường thẳng DH vuông góc với BC tại H. Gọi K là giao điểm của BA và HD. Chứng minh rằng: a) $\triangle$ABD =$\triangle$HBD b) Đường thẳng BD là đường trung trực của đoạn thẳng AH c) $\triangle$BKC cân d) 2(AD+AK)> CK

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a) $ Xét $\Delta ABD$ và $\Delta HBD:$

$\widehat{BAD}=\widehat{BHD}=90^\circ$

$BD:$ chung

$\widehat{B_1}=\widehat{B_2} (BD$ là phân giác)

$\Rightarrow \Delta ABD =\Delta HBD$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$b)  \Delta ABD =\Delta HBD$

$\Rightarrow BA=BH, DA=DH$

$\Rightarrow BD$ là trung trực $AH$

$c)$ Xét $\Delta BAC$ và $\Delta BHK$

$\widehat{BAC}=\widehat{BHK}=90^\circ$

$\widehat{ABC}:$ chung

$BA=BH$

$\Rightarrow \Delta BAC = \Delta BHK$ (cạch góc vuông - góc nhọn)

$\Rightarrow BC=BK$

$\Rightarrow \Delta BKC$ cân tại $B$

$d) E$ là giao $BD$ và $KC$

$\Delta BKC$ cân tại $B$, phân giác $BE$ đồng thời là đườngtrung trực

$\Rightarrow BE \perp KC, E$ là trung điểm $KC$

$\Delta DEK$ vuông tại $E$

$\Rightarrow KD>KE$

Mà $KE=\dfrac{1}{2}KC$

$\Rightarrow KD >\dfrac{1}{2}KC\\ \Rightarrow 2KD >KC$

Xét $\Delta ADK$, theo BĐT tam giác ta có:

$AD+AK>KD$

$\Rightarrow 2(AD+AK)>2KD>KC$

Vậy $2(AD+AK)>KC.$