Bài 3 (2,5 điểm). Cho các đa thức: P(x)=$x^{3} +4x^{2} +3x-6x-4-x^{2}$ Q(x)= -$x^{3} -x^{2} +3x+8$ a) Thu gon và sắp xếp đa thức P(x) theo lũy thừa giảm dần của biến x. Xác định hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức P(x) b) Tinh B(x), biết B(x)=P(x) +Q(x) c) Chứng tỏ đa thức B(x) không có nghiệm.

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$P\left( x \right)={{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+3x-6x-4-{{x}^{2}}$

$Q\left( x \right)=-{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+3x+8$

a)

- Thu gọn và sắp xếp $P\left( x \right)$ theo lũy thừa giảm dần của biến $x$

$P\left( x \right)={{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+3x-6x-4-{{x}^{2}}$

$P\left( x \right)={{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-{{x}^{2}}+3x-6x-4$

$P\left( x \right)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-3x-4$

- Hệ số cao nhất: $1$

- Hệ số tự do: $-4$

b)

$B\left( x \right)=P\left( x \right)+Q\left( x \right)$

$B\left( x \right)=\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-3x-4 \right)+\left( -{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+3x+8 \right)$

$B\left( x \right)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-3x-4-{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+3x+8$

$B\left( x \right)={{x}^{3}}-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-{{x}^{2}}-3x+3x-4+8$

$B\left( x \right)=2{{x}^{2}}+4$

c)

Ta có $2{{x}^{2}}\ge 0$ với mọi $x$

Nên $2{{x}^{2}}+4\ge 4>0$ với mọi $x$

Do đó $B\left( x \right)>0$ với mọi $x$

Vậy đa thức $B\left( x \right)$ không có nghiệm