Cho $\triangle$ABC, độ dài các cạnh AB, AC, BC của tam giác lần lượt là c, b, a; độ dài các đường trung tuyến AM, BD, CE lần lượt là $m_{a}$,$m_{b}$, $m_{c}$ Chứng minh rằng: $\frac{3}{4}(a+b+c)<m_{a} + m_{b} + m_{c} <a+b+c$

Giải thích các bước giải:

Gọi $AM, BD, CE$ giao nhau tại $G\to G$ là trọng tâm $\Delta ABC$

$\to GB=\dfrac23BD, GC=\dfrac23CE, GA=\dfrac23AM$

Ta có:

$BC\le GB+GC=\dfrac23BD+\dfrac23CE=\dfrac23(BD+CE)$

$\to a\le\dfrac23(m_b+m_c)$

Tương tự chứng minh được

$b\le \dfrac23(m_a+m_c), c\le \dfrac23(m_a+m_b)$

$\to a+b+c\le \dfrac23(m_b+m_c)+\dfrac23(m_a+m_c)+\dfrac23(m_a+m_b)=\dfrac43(m_a+m_b+m_c)$

$\to \dfrac34(a+b+c)\le m_a+m_b+m_c$

Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $F$ sao cho $MA=MF$

Xét $\Delta MAB,\Delta MFC$ có:

$MA=MF$

$\widehat{AMB}=\widehat{CMF}$

$MB=MC$

$\to \Delta MAB=\Delta MFC(c.g.c)$

$\to AB=CF$

$\to 2AM=AF<AC+CF<AC+AB$

$\to 2m_a<b+c$

$\to m_a<\dfrac{b+c}2$

Tương tự $m_b<\dfrac{a+c}2, m_c<\dfrac{a+b}2$

$\to m_a+b_m+m_c<\dfrac{b+c}2+\dfrac{a+c}2+\dfrac{a+b}2=a+b+c$

$\to \dfrac34(a+b+c)<m_a+b_m+m_c<a+b+c$