Bài 4 (3,0 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A(AB< AC), đường cao AH. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD= BA. 1) Chứng minh $\widehat{BAD}$ = $\widehat{ADB}$ 2) Kẻ DK vuông góc với AC (K$\in$AC). Chứng minh $\triangle$AHD = $\triangle$AKD và chứng minh AD là đường trung trực của đoạn KH. 3) Chứng minh AB+ AC<BC+ 2AH

Đáp án+Giải thích các bước giải:

1) Do `BD = BA` nên `Δ\ BAD` cân tại `B`

`=> \hat{BAD} = \hat{BDA}` (`2` góc ở đáy `Δ` cân thì bằng nhau)

----------------------------------------------------------------------------------------

2) Ta thấy `Δ\ ADK` vuông tại `K;\ => \hat{ADK} + \hat{DAK} = 90^o`           (1)

Ta cũng thấy  `\hat{ABC} = 90^o\ hay\ \hat{BAD} + \hat{DAK} = 90^o`       (2)

`=>` Từ (1) và (2) `=> \hat{ADK} = \hat{BAD}`

Mà theo câu a `\hat{BAD} = \hat{BDA}; => \hat{ADK} = \hat{BDA}`

Xét `Δ\ AHD` và `Δ\ AKD` ta có:

`\hat{AHD} = \hat{AKD} = 90^o`

`\hat{ADK} = \hat{BDA}` (chứng minh trên)

`AD` chung

`=> Δ\ AHD = Δ\ AKD` (cạnh huyền - góc nhọn)

`=> AH = AK\ ( 2` cạnh tương ứng)

`=> \hat{HAD} = \hat{KAD}` ( 2 góc tương ứng)

Gọi giao điểm `AD` và `HK` là `G`

Xét `Δ\ AHG` và `Δ\ AKG` ta có:

`AH = AK` (chứng minh trên)

`\hat{HAD} = \hat{KAD}` (chứng minh trên)

`AG` chung

`=> Δ\ AHG = Δ\ AKG` (c-g-c)

`=> HG = HK` ( 2 cạnh tương ứng) `=> G` là trung điểm `HK`   (3)

`=> \hat{AGH} = \hat{AGK}` ( 2 góc tương ứng)

Mà `\hat{AGH} + \hat{AGK} = 180^o` (Do là `2` góc kề bù)

`=> \hat{AGH} = \hat{AGK}  = 180^o : 2 = 90^o`

`=> AG ⊥ HK`    (4)

Từ (3) và (4) `=>` AG là đường trung trực của đoạn KH

hay `AD` là đường trung trực của đoạn `KH`

----------------------------------------------------------------------------------------

3) Xét `Δ\ AHC\ và\ Δ\ AHB` vuông tại `H` ta thấy

`AH < AC\ và\ AH < AB` (Do cạnh góc vuông thì luôn bé thua cạnh huyền)

`=> AH + AH < AC + AB`  (cộng `2` vế trên lại với nhau)

`<=> 2AH < AB + AC`

`<=> BC + 2AH < BC + AB + AC` (cộng thêm `BC` vào cả `2` vế)

Giả sử `AB+AC < BC + 2AH`

Do `BC + 2AH < BC + AB + AC`

`=> AB+AC < BC + AB + AC` (tính chất bắc cầu)

`<=> 0 < BC`  (luôn luôn đúng vì cạnh BC luôn lớn hơn 0)

Vậy AB+AC < BC + 2AH