Cho tam giác ABC , góc A = 90 độ và AB = 1/2 BC . Chứng minh rằng góc C > góc B/2 ( vẽ hình nữa ạ )

Để chứng minh góc C > góc B/2, ta sẽ sử dụng định lý sinus trong tam giác ABC.

Gọi BD là đường cao của tam giác ABC (D nằm trên AC), và gọi x = BD/BC. Khi đó, ta có:

AD = AB + BD = AB + BC * x = BC / 2 + BC * x (vì AB = 1/2 * BC) = BC / 2 * (x + 1)

Theo định lý Pythagore trong tam giác ABD, ta có:

AB^2 + BD^2 = AD^2

<=> AB^2 + x^2 * BC^2 = AD^2

<=> AB^2 + x^2 * BC^2 = BC^2 / 4 * (1 + 2x + x^2)

<=> AB^2 + 4x^2 * BC^2 = BC^2 * (1 + 2x + x^2)

<=> (1/4 + 4x^2) * BC^2 = AB^2

Vậy, ta có:

sin(B) = AB / BC = sqrt((1/4 + 4x^2))

sin(C) = BC / AD = BC / (BC / 2 * (x + 1)) = 2 / (x + 1)

Do đó, để chứng minh góc C > góc B/2, ta cần chứng minh rằng:

sin(C) > sin(B/2) <=> 2 / (x + 1) > sqrt((1/4 + 4x^2)) / 2

Bình phương vế trái và vế phải của bất đẳng thức trên, ta được:

4 / (x + 1)^2 > 1/4 + 4x^2 <=> 16x^2 - 8x + 3 > 0 <=> (4x - 1)(4x - 3) > 0

Vì x < 1 (do BD là đường cao nên x < 1), nên 4x - 1 < 0 và 4x - 3 < 0. Từ đó suy ra:

(4x - 1)(4x - 3) = 12 - 16x + 4x^2 > 0

Do đó, ta có:

sin(C) = 2 / (x + 1) > sqrt((1/4 + 4x^2)) / 2 >= sin(B/2)

Vậy, ta đã chứng minh được góc C > góc B/2.