Câu 7 (0,5 điểm) . Cho x$\neq$ 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = $8x^{2} - 4x +\frac{1}{4x^{2}} +15$

Đáp án: Giá trị nhỏ nhất của $T$ là $16$ khi $x=\dfrac{1}{2}$

Giải thích các bước giải:

$T=8{{x}^{2}}-4x+\dfrac{1}{4{{x}^{2}}}+15\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( x\ne 0 \right)$

$T=4{{x}^{2}}+4{{x}^{2}}-4x+\dfrac{1}{4{{x}^{2}}}+16+1-2$

$T=\left( 4{{x}^{2}}-4x+1 \right)+\left( 4{{x}^{2}}-2+\dfrac{1}{4{{x}^{2}}} \right)+16$

$T={{\left( 2x-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2x-\dfrac{1}{2x} \right)}^{2}}+16$

Ta có ${{\left( 2x-1 \right)}^{2}}\ge 0$ với mọi $x$ và ${{\left( 2x-\dfrac{1}{2x} \right)}^{2}}\ge 0$ với mọi $x$

Nên ${{\left( 2x-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2x-\dfrac{1}{2x} \right)}^{2}}\ge 0$ với mọi $x$

$\Rightarrow {{\left( 2x-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2x-\dfrac{1}{2x} \right)}^{2}}+16\ge 16$ với mọi $x$

$\Rightarrow T\ge 16$ với mọi $x$

$\Rightarrow $Giá trị nhỏ nhất của $T$ là $16$

Dấu “=” xảy ra khi $2x-1=0$ và $2x-\dfrac{1}{2x}=0$

$\Leftrightarrow 2x=1$ và $2x=\dfrac{1}{2x}$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$ và $4{{x}^{2}}=1$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$ và ${{x}^{2}}=\dfrac{1}{4}$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$ và ($x=\dfrac{1}{2}$ hoặc $x=-\dfrac{1}{2}$)

$\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $T$ là $16$ khi $x=\dfrac{1}{2}$