Bài 5. (0,75điểm) Cho a, b là các số dương thỏa mãn a+b=1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = $(a+\frac{1}{b})^{2} +(b+\frac{1}{a})^{2}$

Đáp án: GTNN của $M$ là $\dfrac{25}{2}$ khi $a=b=\dfrac{1}{2}$

Giải thích các bước giải:

Áp dụng BĐT Schwar, ta có:

$\dfrac{{{\left( a+\dfrac{1}{b} \right)}^{2}}}{1}+\dfrac{{{\left( b+\dfrac{1}{a} \right)}^{2}}}{1}\ge \dfrac{{{\left( a+\dfrac{1}{b}+b+\dfrac{1}{a} \right)}^{2}}}{1+1}$

$\Rightarrow M\ge \dfrac{{{\left( a+b+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \right)}^{2}}}{2}$

$\Rightarrow M\ge \dfrac{{{\left( 1+\dfrac{{{1}^{2}}}{a}+\dfrac{{{1}^{2}}}{b} \right)}^{2}}}{2}$

$\Rightarrow M\ge \dfrac{{{\left( 1+\dfrac{{{\left( 1+1 \right)}^{2}}}{a+b} \right)}^{2}}}{2}$

$\Rightarrow M\ge \dfrac{{{\left( 1+\dfrac{{{2}^{2}}}{1} \right)}^{2}}}{2}$

$\Rightarrow M\ge \dfrac{25}{2}$

$\Rightarrow $GTNN của $M$ là $\dfrac{25}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi $a=b=\dfrac{1}{2}$

Vậy GTNN của $M$ là $\dfrac{25}{2}$ khi $a=b=\dfrac{1}{2}$