Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Lấy điểm D trên cạnh AB, qua D kẻ đường thẳng song song với AM cắt đường thẳng BC, AC lần lượt tại E và F. Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt EF tại K a) Tứ giác AKEM là hình gì? Tại sao? b) Chứng minh tam giác FKA đồng dạng với tam giác AMC. c) Chứng minh KD AB = KEDA d) Chứng minh K là trung điểm của FD

a)

Xét tứ giác $AKEM$, ta có:

   $AK//EM\left( gt \right)$

   $AM//KE\left( gt \right)$

Nên $AKEM$ là hình bình hành

b)

Xét $\Delta FKA$ và $\Delta AMC$, ta có:

   $\widehat{FAK}=\widehat{ACM}$ (vì $AK//BC$, hai góc đồng vị)

   $\widehat{KFA}=\widehat{MAC}$ (vì $AM//EF$, hai góc đồng vị)

Nên $\Delta FKA\sim\Delta AMC\left( g.g \right)$

c)

Ta có $AK//BE\left( gt \right)$

Nên $\dfrac{KD}{KE}=\dfrac{DA}{AB}$ (Định lý Ta-lét)

Vậy $KD.AB=KE.DA$

d)

Ta có $AK=ME$ (vì $AKEM$ là hình bình hành)

Và $MC=MB$ (vì $M$ là trung điểm $BC$)

Nên $\dfrac{AK}{MC}=\dfrac{ME}{MB}$

Mà $\dfrac{AK}{MC}=\dfrac{FK}{AM}$ (vì $\Delta FKA\sim\Delta AMC$)

Và $\dfrac{ME}{MB}=\dfrac{DA}{AB}$ (vì $DE//AM$, định lý Ta-lét)

Do đó $\dfrac{FK}{AM}=\dfrac{DA}{AB}$

Mà $AM=KE$ (vì $AKEM$ là hình bình hành)

Và $\dfrac{DA}{AB}=\dfrac{KD}{KE}$ (vì $AK//BE$, định lý Ta-lét)

Vậy $\dfrac{FK}{KE}=\dfrac{KD}{KE}$

$\Rightarrow FK=KD\Rightarrow K$ là trung điểm của $FD$