Bài IV (3,5 điểm) 1. Tìm x, y trong hình vẽ bên 2. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH (H ∈ BC). a) Chứng minh : $\triangle$ABC đồng dạng với $\triangle$HBA. b) Lấy điểm M thuộc AH. Kẻ đường thẳng đi qua B và vuông góc với CM tại K. Chứng minh : CM.CK=CH.CB. c) Tia BK cắt HA tại D. Chứng minh: $\widehat{BKH}$ = $\widehat{BCD}$

1)

Ta có $AB//CD$ (cùng vuông góc với $BC$)

Nên theo hệ quả của định lý Ta-lét

Ta có $\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{AB}{CD}$

$\Rightarrow \dfrac{3}{6}=\dfrac{y}{8}$$\Rightarrow y=\dfrac{3.8}{6}=4$

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta ABM$ vuông tại $B$

Ta có $A{{M}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{M}^{2}}$

$\Rightarrow {{x}^{2}}={{3}^{2}}+{{y}^{2}}$

$\Rightarrow {{x}^{2}}={{3}^{2}}+{{4}^{2}}$

$\Rightarrow {{x}^{2}}=25$

$\Rightarrow x=5$

Vậy $x=5$ và $y=4$

2)

a)

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HBA$, ta có:

   $\widehat{ABC}$ là góc chung

   $\widehat{BAC}=\widehat{BHA}=90{}^\circ $

Nên $\Delta ABC\sim\Delta HBA\left( g.g \right)$

b)

Xét $\Delta CHM$ và $\Delta CKB$, ta có:

   $\widehat{KCB}$ là góc chung

   $\widehat{CHM}=\widehat{CKB}=90{}^\circ $

Nên $\Delta CHM\sim\Delta CKB$

Do đó $\dfrac{CH}{CK}=\dfrac{CM}{CB}\Rightarrow CM.CK=CH.CB$

c)

Xét $\Delta BKC$ và $\Delta BHD$, ta có:

   $\widehat{KBC}$ là góc chung

   $\widehat{BKC}=\widehat{BHD}=90{}^\circ $

Nên $\Delta BKC\sim\Delta BHD\left( g.g \right)$

Do đó $\dfrac{BK}{BC}=\dfrac{BH}{BD}$

Xét $\Delta BKH$ và $\Delta BCD$, ta có:

   $\widehat{KBH}$ là góc chung

   $\dfrac{BK}{BC}=\dfrac{BH}{BD}\left( cmt \right)$

Nên $\Delta BKH\sim\Delta BCD\left( c.g.c \right)$

Do đó $\widehat{BKH}=\widehat{BCD}$