Bài V. (5,5 điểm) Cho $\triangle$ABC vuông tại A có AB < AC. Từ điểm I trên cạnh BC kẻ một đường thẳng vuông góc với BC và cắt đoạn thẳng AC tại K, cắt tia BA tại M. 1) Chứng minh $\triangle$AKM đồng dạng $\triangle$AKC. 2) Chứng minh AM. BC = MK. AC. 3) Chứng minh $\widehat{AIK}$ = $\widehat{KMC}$. 4) Tim vị trí của I trên cạnh BC để tích IK. IM đạt giá trị lớn nhất.

Giải thích các bước giải:

1.Xét $\Delta AKM,\Delta IKC$ có:

$\widehat{AKM}=\widehat{IKC}$

$\widehat{KAM}=\widehat{KIC}(=90^o)$

$\to\Delta AKM\sim\Delta IKC(g.g)$

2.Xét $\Delta AMK,\Delta ABC$ có:

$\widehat{MAK}=\widehat{BAC}(=90^o)$

$\widehat{AKM}=90^o-\hat M=\hat B$

$\to\Delta AKM\sim\Delta ABC(g.g)$

$\to \dfrac{KM}{BC}=\dfrac{AM}{AC}$

$\to AM\cdot BC=KM\cdot AC$

3.Từ câu 1 $\to \dfrac{KM}{KC}=\dfrac{KA}{KI}$

Mà $\widehat{AKI}=\widehat{MKC}$

$\to\Delta KAI\sim\Delta KMC(c.g.c)$

$\to \widehat{AIK}=\widehat{KCM}$

4.Xét $\Delta IKC,\Delta IMB$ có:

$\widehat{KIC}=\widehat{BIM}(=90^o)$

$\widehat{ICK}=\widehat{BMI}$

$\to \Delta ICK\sim\Delta IMB(g.g)$

$\to\dfrac{IC}{IM}=\dfrac{IK}{IB}$

$\to IK\cdot IM=IB\cdot IC\le\dfrac{(IB+IC)^2}4=\dfrac{BC^2}4$

$\to$Dấu = xảy ra khi $IB=IC\to I$ là trung điểm $BC$