Bài 4: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH(H$\in$BC), AB=15cm, AC=20cm. a. chứng minh $\triangle$HBA đồng dạng $\triangle$ABC b.Tính độ dài đoạn thẳng BC, HB,AH c. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại B, đường thẳng này cắt CA tại D. Chứng minh rằng $AB^{2}$ = AD.AC d. Cho AD=8cm,kẻ AK vuông góc với DB tại K . Tính diện tích tam giác BHK

Đáp án+Giải thích các bước giải:

a) Xét tam giác `HBA` và tam giác `ABC` ta có:

`\hat{H} = \hat{A} = 90^o`

`\hat{B}` chung

`=>`  tam giác `HBA` ~ tam giác `ABC` (góc-góc)

b) Xét tam giác `ABC` vuông tại `A`

Theo định lý Pitago ta có:

`AB^2 + AC^2 = BC^2`

`=> BC = sqrt(AB^2+AC^2) = sqrt(15^2+20^2)`

`<=> BC = 25` cm

Theo câu `a`; tam giác `HBA` ~ tam giác `ABC`

`=> (HB)/(AB) = (BA)/(BC) ` (2 cạnh tương ứng)

`<=> (HB)/15 = 15/25`

`=> HB = 9` cm

Ta cũng thấy: `(HA)/(AC)  = (BA)/(BC)`  (2 cạnh tương ứng)

`<=> (AH)/(20) = 15/25`

`=> AH = 12` cm

c) Xét tam giác `ABC` và tam giác `BDC` ta có:

`\hat{BAC} = \hat{DBC} = 90^o`

`\hat{C}` chung

`=>` tam giác `ABC` ~ tam giác `BDC` (góc-góc)

`=> \hat{ABC} = \hat{BDC}`   (2 góc tương ứng)

Xét tam giác `ABC` và tam giác `ADB` ta có:

`\hat{BAC} = \hat{BAD} = 90^o`

`\hat{ABC} = \hat{BDC}`  (chứng minh trên)

`=>` tam giác `ABC` ~ tam giác `ADB` (góc-góc)

`=> (AB)/(AD) = (AC)/(AB)`    (2 cạnh tương ứng)

`=> AB.AB = AD.AC`

`<=> AB^2 = AD.AC`

d) Theo định lý Pitago:

`BD = sqrt(AD^2+AB^2) = sqrt(8^2+15^2) = 17` cm

Tương tự câu a, ta cũng dễ thấy: `BK.BD = AB^2`

`<=> BK . 17 = 15^2`

`<=> BK = 225/17` cm

Diện tích tam giác `BHK` vuông tại `B` là:

`BK . BH : 2 = 225/17 . 9 : 2 = 2025/24`  (`cm^2`)