Câu 5: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB =6cm; AC = 8cm. Kẻ đường cao AH. a. Chứng minh $\triangle$AHC đồng dạng $\triangle$BAC b. Tình độ dài các cạnh BC, AH c. Phân giác của góc ACB cắt AH tại D, cắt AB tại E.  Chứng minh $\frac{AE^{2}}{EB^{2}}$ =$\frac{DH^{2}}{AD^{2}}$ 

Đáp án+Giải thích các bước giải:

a) Xét tam giác `AHC` và tam giác `BAC` ta có:

`\hat{AHC} = \hat{BAC}`

`\hat{C}` chung

=> tam giác `AHC` ~ tam giác `BAC` (góc - góc)

b) Xét tam giác `ABC` vuông tại `A`

Theo định lý Pitago ta có:

`AB^2+AC^2=BC^2`

`<=> BC = sqrt(AB^2+AC^2) = sqrt(6^2+8^2) = 10` cm

Theo câu `a` tam giác `AHC` ~ tam giác `BAC`

`=> (AH)/(BA) = (AC)/(BC)`    (2 cạnh tương ứng)

`<=> (AH)/(6) = (8)/(10)`

`<=> AH = 4,8` cm

c) Theo câu a, tam giác `AHC ~` tam giác `BAC`

`=> (HC)/(AC) = (AC)/(BC)`    (2 cạnh tương ứng)

`<=> HC.BC = AC.AC`

`<=> HC.BC = AC^2`

`=> (HC)/(AC) = (AC)/(BC)`    (1)

Do `EC` là tia phân giác của tam giác `AHC` nên `(DH)/(HC) = (DA)/(AC)`

`<=> (DH)/(AD) = (HC)/(AC)`   (2)

Do `EC` cũng là tia phân giác của tam giác `ABC` nên `(EB)/(BC) = (EA)/(AC)`

`<=> (AE)/(EB) = (AC)/(BC)`     (3)

Từ (1) (2) (3) `=> (AE)/(EB) = (DH)/(AD)`

`=> ((AE)/(EB))^2 = ((DH)/(AD))^2`

`<=> (AE)^2/(EB)^2 = (DH)^2/(AD)^2`