Cho tam giác ABC cân tại C có đường cao BD.CE. a. Chứng minh AB.AE =AD.AC b. Trên tia đối tia BA lấy điểm F sao cho BF < B, kẻ FH vuông góc với BC tại H. Chứng minh các tam giác BDA và FHB đồng dạng. c. Qua F kẻ đường thẳng song song với BD, cắt  CA tại G. Chứng minh rằng BD=FG.FH

Đáp án+Giải thích các bước giải:

a) Xét `Δ\ ABD` và `Δ\ ACE` ta có:

`\hat{A}` chung

`\hat{D} = \hat{E} = 90^o`

`=> Δ\ ABD ~ Δ\ ACE` (góc-góc)

`=> (AB)/(AC) = (AD)/(AE)`

`=> AB . AE = AD.AC`

b) Ta có `\hat{FBH} = \hat{ABC}`

Mà `\hat{ABC}=\hat{CAB}`   (Do tam giác `ABC` cân tại `C`)

Vậy `\hat{FBH}=\hat{CAB}`

Xét `Δ\ BDA` và `Δ\ FHB` ta có:

`\hat{FBH}=\hat{CAB}` (chứng minh trên)

`\hat{BDA} = \hat{FHB} = 90^o`

`=> Δ\ BDA ~ Δ\ FHB` (góc-góc)

c) Do `GF` // `BD` mà `BD ⊥ AC`

`=> GF ⊥ AC`

`=> \hat{DGK}=\hat{GDB} = 90^o`

Kẻ `BK ⊥  GF; => \hat{GKB} = 90^o`

`=>` Tứ giác `DGKB` là hình chữ nhật do có `3` góc vuông

`=>` góc còn lại của hình `DGKB` cũng là góc vuông (Tính chất hình chữ nhật có `4` góc vuông)

`=> \hat{DBK} = 90^o`

Mà `\hat{ABD} + \hat{DBK} + \hat{KBF} = 180^o`

`<=> \hat{ABD} + 90^o + \hat{KBF} = 180^o`

`<=> \hat{ABD} + \hat{KBF} = 180^o - 90^o = 90^o`     (1)

Theo câu b; `Δ\ BDA ~ Δ\ FHB`

`=> \hat{ABD} = \hat{HFB} `                                              (2)

Vậy từ (1) và (2) `=> \hat{HFB}  + \hat{KBF} = 90^o`        (3)

Do `Δ\ BHF` vuông tại `H`

`=> \hat{HBF} + \hat{HFB} = 90^o  `                                 (4)

Từ (3) và (4) `=> \hat{HBF} = \hat{KBF}`

Xét `Δ\ HBF` và `Δ\ KBF` ta có:

`\hat{HBF} = \hat{KBF}` (chứng minh trên)

`\hat{K} = \hat{H} = 90^o`

`BF` chung

`=> Δ\ HBF = Δ\ KBF` (cạnh huyền-góc nhọn)

`=> HF = KF` (2 cạnh tương ứng)           (5)

Mà do `DGKB` là hình chữ nhật nên `BD =GK`

Hay `BD=GF-KF`                                      (6)

Từ (5) và (6) `=> BD = GF-FH`