Câu 5 (0,5 điểm). Cho 2 số thực dương x, y thỏa mãn: 2x +3y$\leq$ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A=$\frac{4}{4x^{2}+ 9y^{2}}$ + $\frac{9}{xy}$ 

Đáp án: GTNN của $A$ là $56$ khi $x=\dfrac{1}{2}$ và $y=\dfrac{1}{3}$

Giải thích các bước giải:

$A=\dfrac{4}{4{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}}+\dfrac{9}{xy}$

$A=\dfrac{4}{4{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}}+\dfrac{4}{12xy}-\dfrac{4}{12xy}+\dfrac{9}{xy}$

$A=\left( \dfrac{{{2}^{2}}}{4{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}}+\dfrac{{{2}^{2}}}{12xy} \right)+\dfrac{26}{3xy}$

Áp dụng BĐT Schwar, ta có:

$\dfrac{{{2}^{2}}}{4{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}}+\dfrac{{{2}^{2}}}{12xy}\ge \dfrac{{{\left( 2+2 \right)}^{2}}}{4{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}+12xy}=\dfrac{16}{{{\left( 2x+3y \right)}^{2}}}$

Mà $0<2x+3y\le 2$ nên ${{\left( 2x+3y \right)}^{2}}\le 4$

Do đó $\dfrac{16}{{{\left( 2x+3y \right)}^{2}}}\ge \dfrac{16}{4}=4$

Vậy $\dfrac{{{2}^{2}}}{4{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}}+\dfrac{{{2}^{2}}}{12xy}\ge 4\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:

${{\left( 2x \right)}^{2}}+{{\left( 3y \right)}^{2}}\ge 2.2x.3y$

$\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}\ge 12xy$

$\Leftrightarrow \left( 4{{x}^{2}}+12xy+9{{y}^{2}} \right)\ge 24xy$

$\Leftrightarrow {{\left( 2x+3y \right)}^{2}}\ge 24xy$

$\Leftrightarrow xy\le \dfrac{{{\left( 2x+3y \right)}^{2}}}{24}=\dfrac{4}{24}=\dfrac{1}{6}$

Do đó $\dfrac{26}{3xy}\ge 52\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Lấy $\left( 1 \right)+\left( 2 \right)$, cộng vế theo vế

Ta được $\dfrac{{{2}^{2}}}{4{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}}+\dfrac{{{2}^{2}}}{12xy}+\dfrac{26}{3xy}\ge 4+52$

Suy ra $A\ge 56$

Dấu “=” xảy ra khi $x=\dfrac{1}{2}$ và $y=\dfrac{1}{3}$

Vậy GTNN của $A$ là $56$ khi $x=\dfrac{1}{2}$ và $y=\dfrac{1}{3}$