Câu 4 (3,5 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. M là trung điểm của AC, từ M kẻ MN $\bot$ BC tại N. a) Chứng minh rằng:$\triangle$ABC đồng dạng với $\triangle$NMC. b) Chứng minh rằng: $\frac{AB}{MN}$ =$\frac{AC}{NH}$  c) Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với AN cắt đường thẳng AB tại K. Chứng minh rắng B là trung điểm của AK

Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ABC,\Delta NMC$ có:
Chung $\hat C$

$\widehat{BAC}=\widehat{MNC}(=90^o)$

$\to\Delta ABC\sim\Delta NMC(g.g)$

b.Ta có: $\Delta AHC$ vuông tại $H, M$ là trung điểm $AC\to MH=MA=MC=\dfrac12AC$

               $MN//AH(\perp BC), M$ là trung điểm $AC\to N$ là trung điểm $HC\to NH=NC$

$\to \dfrac{MN}{NH}=\dfrac{MN}{NC}$

Từ câu a $\to \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{NM}{NC}$

$\to \dfrac{MN}{NH}=\dfrac{AB}{AC}$

$\to \dfrac{AB}{MN}=\dfrac{AC}{NH}$

c.Gọi $D$ là trung điểm $HA$

Vì $N$ là trung điểm $HC\to ND$ là đường trung bình $\Delta HCA$

$\to ND//AC$

Mà $AB\perp AC\to ND\perp AB$

Ta có: $AD\perp BC\to AD\perp BN$

$\to D$ là trực tâm $\Delta ABN$

$\to BD\perp AN$

$\to BD//KH(\perp AN)$

Vì $D$ là trung điểm $AH$

$\to B$ là trung điểm $AK$