Cho tam giác ABC có ba góc nhọn; hai đường cao BE và CF cắt nhau ở H. a. Chứng minh tam giác AEB đồng dạng tam giác AFC b. Chứng minh HE.HB= HC.HF c. Tia AHC cạnh BC tại D; từ D kẻ DM vuông góc với AB (M $\in$AB) và DN vuông góc với AC (N$\in$ AC). Chứng minh $\frac{AF}{AM}$ =$\frac{AH}{AD}$ và EF song song với NM d. Gọi I là trung điểm của HC. Chứng minh FA.FB = $FI^{2}$ -$EI^{2}$

Giải thích các bước giải:

a) `ΔABC` có đường cao `BE, CF => BE⊥AC; CF⊥AB`

Xét `ΔAEB` và `ΔAFC` có:

`\hat{AEB}=\hat{AFC}=90^0 (BE⊥AC; CF⊥AB)`

`\hat{BAC}`: chung

`=>` $ΔAEB\backsimΔAFC$ (g.g)

b) Xét `ΔBFH` và `ΔCEH` có:

`\hat{BFH}=\hat{CEH}=90^0 (BE⊥AC; CF⊥AB)`

`\hat{BHF}=\hat{CHE}` (đối đỉnh)

`=>` $ΔBFH\backsimΔCEH$ (g.g)

`=> \frac{HB}{HC}=\frac{HF}{HE} => HE.HB=HC.HF`

c) `HF⊥AB; DM⊥AB =>` $HF//DM$

`=> \frac{AF}{AM}=\frac{AH}{AD}` (định lý ta-lét)

`HE⊥AC; DN⊥AC =>` $HE//DN$

`=> \frac{AE}{AN}=\frac{AH}{AD}` (định lý ta-lét)

`=> \frac{AF}{AM}=\frac{AE}{AN}`

`=>` $EF//NM$ (định lý ta-lét đảo)

d) `HE⊥AC => ΔHEC` vuông tại `E`

lại có `EI` là đường trung tuyến

`=> EI=1/2 HC = HI=IC`

`=> FI^2 - EI^2 = (FI-EI)(FI+EI)`

                         `= (FI-HI)(FI+IC)`

                          `=FH.FC`   (1)

$ΔAEB\backsimΔAFC$ `=> \hat{ABE}=\hat{ACF}` hay `\hat{FBH}=\hat{ACF}`

Xét `ΔBFH` và `ΔCFA` có:

`\hat{BFH}=\hat{CFA}=90^0 (CF⊥AB)`

`\hat{FBH}=\hat{ACF} `

`=>` $ΔBFH\backsimΔCFA$ (g.g) 

`=> \frac{FH}{FA}=\frac{FB}{FC}`

`=> FA.FB=FH.FC`  (2)

Từ (1) (2) `=> FA.FB=FI^2 - EI^2`