Chứng minh rằng $a^{4}$ + 16 $\geq$ $2a^{3}$ +$8a$

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a^4+16 \ge 2a^3+8a\\ \Leftrightarrow a^4-2a^3- 8a+16 \ge 0\\ \Leftrightarrow a^3(a-2)- 8(a-2) \ge 0\\ \Leftrightarrow (a-2)(a^3- 8) \ge 0\\ \Leftrightarrow (a-2)(a-2)(a^2+2a+4) \ge 0\\ \Leftrightarrow (a-2)^2[(a^2+2a+1)+3] \ge 0\\ \Leftrightarrow (a-2)^2[(a+1)^2+3] \ge 0 (**)$

$(a-2)^2 \ge 0 \ \forall \ a, (a+1)^2+3 >0 \ \forall \ a$ nên $(**)$ đúng, mà các phép biến đổi là tương đương nên $(*)$ đúng, hay $a^4+16 \ge 2a^3+8a \ \forall \ a.$