Cho hình chữ nhật ABCD có AB= 8cm; BC=6cm. Kẻ AH vuông góc với DB. a. Chứng minh $\triangle$AHB ᔕ $\triangle$BCD b.Chứng minh: AH.BD =AD.BA c. Tính độ dài AH, tính diện tích tam giác AHD d. Kẻ tia phân giác của góc ADB cắt AH ở I và cắt AB ở K. Chứng minh: AI.AK = IH.KB

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a) ABCD$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow \widehat{BCD}=\widehat{DAB}=90^\circ;AD=BC=6(cm); AB // CD \Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{D_1}$

Xét $\Delta AHB$ và $\Delta BCD:$

$\widehat{AHB}=\widehat{BCD}=90^\circ\\ \widehat{B_1}=\widehat{D_1}\\ \Rightarrow \Delta AHB \backsim \Delta BCD (g.g)$

$b) \Delta DAB$ vuông tại $A$, đường cao $AH$

$\Rightarrow 2S_{DAB}=AH.BD=AD.BA$

$c) \Delta DAB$ vuông tại $A$, đường cao $AH$

$\Rightarrow BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{AD^2+BC^2}=10(cm)\\ AH.BD=AD.BA\\ \Rightarrow AH=\dfrac{AD.AB}{BD}=\dfrac{24}{5}(cm)$

$\Delta AHD$ vuông tại $H$

$\Rightarrow HD=\sqrt{AD^2-AH^2}=\dfrac{18}{5}(cm)\\ S_{AHD}=\dfrac{1}{2}AH.HD=\dfrac{216}{25} (cm)$

$d) \Delta AHD$, phân giác $DI$

$\Rightarrow \dfrac{AI}{IH}=\dfrac{AD}{DH} (1)$

$\Delta DAB$, phân giác $DK$

$\Rightarrow \dfrac{AK}{KB}=\dfrac{AD}{BD} (2)\\ (1)(2) \Rightarrow \dfrac{AI.AK}{IH.KB}=\dfrac{AD^2}{DH.BD}  (*)$

Xét $\Delta DHA$ và $\Delta DAB:$

$\widehat{ADB}:$ chung

$\widehat{DHA}=\widehat{DAB}=90^\circ\\ \Rightarrow \Delta DHA \backsim \Delta DAB\\ \Rightarrow \dfrac{DH}{AD}=\dfrac{AD}{BD}\\ \Rightarrow AD^2=DH.BD (**)\\ (*) (**) \Rightarrow AI.AK = IH.KB.$