a. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A = $-2x^{2}$ +$6x$ -$14$ b. Cho a,b,c có độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: A= $\frac{a}{b+c-a}$ + $\frac{b}{a+c-b}$ +  $\frac{c}{a+b-c}$ $\geq$ 3

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a) A=-2x^2+6x-14\\ =-2(x^2-3x+7)\\ =-2(x^2-2.1,5x+2,25+4,75)\\ =-2(x^2-2.1,5x+2,25)-9,5\\ =-2(x-1,5)^2-9,5 \le -9,5 \ \forall \ x$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x-1,5=0 \Leftrightarrow x=1,5$

Vậy $\max_A=-9,5 \Leftrightarrow x=1,5$

$b)$ Theo BĐT tam giác, $b+c>a, a+c>b, a+b>c$

Do đó $b+c-a>0, a+c-b>0, a+b-c>0$

Đặt $b+c-a=x, a+c-b=y, a+b-c=z$

Ta có:

$x+y=b+c-a+a+c-b=2c \Rightarrow c=\dfrac{x+y}{2}\\ y+z=a+c-b+a+b-c=2a \Rightarrow a=\dfrac{y+z}{2}\\ x+z=b+c-a+a+b-c=2b \Rightarrow b=\dfrac{x+z}{2}$

Do đó:

$\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\\ =\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{x+y}{z} \right)\\ =\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z} +\dfrac{y}{z} \right)\\ =\dfrac{1}{2} \left[\left(\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}\right)+\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z} \right)+\left(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z} \right)\right]\\ \ge \dfrac{1}{2} (2+2+2) =3$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{y}{x}=\dfrac{x}{y};\dfrac{z}{x}=\dfrac{x}{z} ;\dfrac{z}{y}=\dfrac{y}{z}  \Leftrightarrow x=y=z \Leftrightarrow a=b=c$

Vậy $A \ge 3.$

________________________________

Chứng minh phụ:

$a,b>0$

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \ge 2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}} (\text{BĐT Cô - sy})=2\sqrt{1}=2$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{a}  \Leftrightarrow  a^2=b^2$

Mà $a,b>0 \Rightarrow a=b$

Vậy $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \ge 2$, dấu "=" xảy ra khi $a=b.$