Cho $\triangle$ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H ( D $\in$ BC, E$\in$AC, F$\in$AB) Chứng minh rằng:  a. $\triangle$$ABD$ ᔕ $\triangle$$AHF$, $AF.AB$ = $AH.AD$ b. $AF.AB$ = $AE.AC$ và $\triangle$$AEF$ ᔕ $\triangle$$ABC$ c. $FC$ là phân giác của góc $EFD$ và $BC^{2}$ = $BH.BE$ + $CH.CF$

Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ADB,\Delta AHF$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{ADB}=\widehat{AFH}(=90^o)$

$\to \Delta ADB\sim\Delta AFH(g.g)$

$\to \dfrac{AD}{AF}=\dfrac{AB}{AH}$

$\to AF\cdot AB=AH\cdot AD$

b.Xét $\Delta AEB,\Delta AFC$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{AEB}=\widehat{AFC}(=90^o)$

$\to \Delta AEB\sim\Delta AFC(g.g)$

$\to \dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}$

$\to AF\cdot AB=AE\cdot AC$

$\to \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}$

Mà $\widehat{EAF}=\widehat{BAC}$

$\to \Delta AEF\sim\Delta ABC(c.g.c)$

c.Tương tự câu b chứng minh được $\Delta DBF\sim\Delta ABC$

$\to \Delta AEF\sim\Delta DBF$

$\to \widehat{AFE}=\widehat{BFD}$

$\to 90^o-\widehat{AFE}=90^o-\widehat{BFD}$

$\to \widehat{EFC}=\widehat{CFD}$

$\to FC$ là phân giác $\widehat{EFD}$

Xét $\Delta BDH,\Delta BEC$ có:
Chung $\hat B$

$\widehat{BDH}=\widehat{BEC}(=90^o)$

$\to \Delta BDH\sim\Delta BEC(g.g)$

$\to\dfrac{BD}{BE}=\dfrac{BH}{BC}$

$\to BH\cdot BE=BD\cdot BC$

Tương tự chứng minh được $CH\cdot CF=CD\cdot CB$

$\to BH\cdot BE+CH\cdot CF=BD\cdot BC+CD\cdot BC=BC^2$