Bài 4 (3,5điểm): Cho tam giác ABC, AB < AC, hai đường cao BK và CI cắt nhau tại H. AH cắt BC tại D a) Chứng minh `\triangle`ABK đồng dạng `\triangle`ACI và$\frac{AK}{AB}$ =$\frac{AI}{AC}$  b) Chứng minh góc AKI = góc ABC c) Kéo dài KI cắt BC tại F, AD cắt KI tại Q. Chứng minh: QK.F=FK.QI d. Chứng minh rằng $\frac{KA}{KC}$.$\frac{FC}{FB}$ .$\frac{IA}{IB}$ =1

Giải thích các bước giải:

 a.Xét $\Delta ABK,\Delta ACI$ có:
Chung $\hat A$

$\widehat{AKB}=\widehat{AIC}(=90^o)$

$\to \Delta ABK\sim\Delta ACI(g.g)$

$\to \dfrac{AK}{AI}=\dfrac{AB}{AC}$

$\to \dfrac{AK}{AB}=\dfrac{AI}{AC}$

b.Xét $\Delta AKI,\Delta ABC$ có:

Chung $\hat A$

$ \dfrac{AK}{AB}=\dfrac{AI}{AC}$

$\to \Delta AKI\sim\Delta ABC(c.g.c)$

$\to\widehat{AKI}=\widehat{ABC}$

c.Tương tự câu b chứng minh được $\Delta DBI\sim\Delta ABC, \Delta DKC\sim\Delta ABC$

$\to \Delta DBI\sim\Delta DKC$

$\to \widehat{IDB}=\widehat{KDC}$

$\to 90^o-\widehat{IDB}=90^o-\widehat{KDC}$

$\to \widehat{QDI}=\widehat{QDK}$

$\to DQ$ là phân giác $\widehat{IDK}$

Mà $DQ\perp DF$

$\to DF$ là phân giác ngoài $\Delta DKI$

$\to \dfrac{QK}{QI}=\dfrac{FK}{FI}$

$\to QK\cdot FI=FK\cdot  QI$

d.Qua $A$ kẻ $d//BC, FK\cap d=E$

$\to \dfrac{KA}{KC}=\dfrac{AE}{FC}$

      $\dfrac{IB}{IA}=\dfrac{BF}{AE}$

$\to \dfrac{KA}{KC}\cdot\dfrac{FC}{FB}\cdot\dfrac{IB}{IA}=\dfrac{AE}{FC}\cdot\dfrac{FC}{FB}\cdot\dfrac{FB}{AE}=1$