Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB< AC) các đường cao BD, CE (D thuộc AC, E thuộc AB). a) Chứng minh tam giác ABD đồng dạng tam giác ACE. Từ đó suy ra AE AB AD-AC. b) Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Qua Á về đường thẳng d vuông góc với AM, d cắt đường thẳng BD tại P. Vẽ BK, CL cùng vuông góc với d (K, L thuộc d) DP cắt CL tại Q. Chứng minh DQ.DP = DADC và A là trung điểm của KL. c) Lấy N là điểm đối xứng của lạ qua A. Chứng minh AE.AB = AL.AP . Từ đó suy ra ba điểm C, E, N thẳng hàng.

Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ABD,\Delta ACE$ có:
Chung $\hat A$

$\widehat{ADB}=\widehat{AEC}(=90^o)$

$\to\Delta ABD\sim\Delta ACE(g.g)$

$\to \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AE}$

$\to AE\cdot AB=AD\cdot AC$

b.Xét $\Delta DAP,\Delta DQC$ có:

$\widehat{ADP}=\widehat{QDC}(=90^o)$

$\widehat{DAP}=\widehat{CAL}=90^o-\widehat{ACL}=90^o-\widehat{DCQ}=\widehat{DQC}$

$\to\Delta DAP\sim\Delta DQC(g.g)$

$\to\dfrac{DA}{DQ}=\dfrac{DP}{DC}$

$\to DA\cdot DC=DQ\cdot DP$

Ta có: $BK\perp d, MA\perp d, CL\perp d\to BK//AM//CL$

Mà $M$ là trung điểm $BC\to AM$ là đường trung bình hình thang $BCLK$

$\to A$ là trung điểm $KL$

c.Xét $\Delta ADP,\Delta ALC$  có:

Chung $\hat A$

$\widehat{ADP}=\widehat{ALC}(=90^o)$

$\to\Delta ADP\sim\Delta ALC(g.g)$

$\to\dfrac{AD}{AL}=\dfrac{AP}{AC}$

$\to AL\cdot AP=AD\cdot AC$

Mà $AD\cdot AC=AE\cdot AB\to AL\cdot AP=AE\cdot AB$

       $A$ là trung điểm $KL, PN\to AK=AL, AN=AP$

$\to AK\cdot AN=AE\cdot AB$

$\to\dfrac{AK}{AE}=\dfrac{AB}{AN}$

Mà $\widehat{KAB}=\widehat{NAE}$

$\to\Delta AKB\sim\Delta AEN(c.g.c)$

$\to\widehat{AEN}=\widehat{AKB}=90^o$

$\to EN\perp AB$

Mà $EC\perp AB$

$\to N, E, C$ thẳng hàng