Cho tam giác ABC vuông tại A, AB>AC, đường cao AH. Chứng minh rằng ΔHBA ∽ ΔHAC và 〖AB〗^2/〖AC〗^2 =HB/CH. Kẻ phân giác AD của góc BAH (D thuộc BH). Chứng minh tam giác ACD cân và DH.DC=BD.HC. Gọi M là trung điểm AB, E là giao điểm của hai đường thẳng MD và AH. Chứng minh rằng CE//AD.

Giải thích các bước giải:

Chứng minh định lý: Cho tam giác ABC. Các điểm D,E,F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA,AB. Nếu D,E,F thẳng hàng suy ra :

$\dfrac{FA}{FB}.\dfrac{DB}{DC}.\dfrac{EC}{EA}=1$

 Qua C dựng đường thẳng qua C và song song với AB cắt DE tại G

Vì $CG//AB\to \dfrac{DB}{DC}=\dfrac{FB}{CG}$ và $\dfrac{EC}{EA}=\dfrac{CG}{FA}$

$\to \dfrac{DB}{DC}.\dfrac{EC}{EA}=\dfrac{FB}{CG}.\dfrac{CG}{FA}=\dfrac{FB}{FA}$

$\to\dfrac{FA}{FB}.\dfrac{DB}{DC}.\dfrac{EC}{EA}=1\to đpcm$

Ta có :
$AH\perp BC, AB\perp AC\to \widehat{BAH}=\widehat{ACH}(+\widehat{HAC}=90^o)$

Lại có $\widehat{BHA}=\widehat{AHC}=90^o$

$\to\Delta HBA\sim\Delta HAC(g.g)$

$\to\dfrac{HB}{HA}=\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{AB}{AC}$

$\to \dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{HB}{HA}.\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{HB}{HC}$

Vì $AD$ là phân giác $\widehat{BHA}$

$\to\widehat{BAD}=\widehat{DAH}$

$\to \widehat{DAC}=90^o-\widehat{BAD}=90^o-\widehat{DAH}=\widehat{ADH}\to\Delta ACD$ cân tại C

Vì AD là phân giác $\widehat{BAH}$

$\to\dfrac{DH}{DB}=\dfrac{AH}{AB}$

Mà $\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{AB}{AC}\to\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{HC}{AC}=\dfrac{HC}{CD}$ vì $\Delta CAD$ cân tại C

$\to \dfrac{DH}{DB}=\dfrac{HC}{CD}\to DH.CD=BD.HC$

Vì M,D,E thẳng hàng nên áp dụng định lý trên

$\to\dfrac{EA}{EH}.\dfrac{DH}{DB}.\dfrac{MB}{MA}=1$

$\to\dfrac{EA}{EH}.\dfrac{DH}{DB}.1=1$

$\to\dfrac{EA}{EH}=\dfrac{DB}{DH}=\dfrac{CD}{HC}\to AD//CE$