Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC < BC . Các tia phân giác góc A và góc C cắt nhau tại I . Gọi D,E theo thứ tự lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ I xuống BC , AC . Trên CD lấy M sao cho DM = AE . Gọi K là giao điểm của DE và AM . Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD tại N a) CMR : Tam giác CDE cân b) Chứng minh MN = AE và K là trung điểm của AM. c) Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.

Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta CIE,\Delta CID$ có:

$\widehat{ICE}=\widehat{ICD}$

Chung $CI$

$\widehat{CEI}=\widehat{CDI}(=90^o)$

$\to \Delta CIE=\Delta CID$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to CD=CE, ID=IE$

$\to \Delta CDE$ cân tại $C$

b.Xét $\Delta IAE,\Delta IDM$ có:

$IE=ID$

$\widehat{IEA}=\widehat{IDM}(=90^o)$

$AE=DM$

$\to \Delta IAE=\Delta IMD(c.g.c)$

$\to IA=IM$

Vì $MN//AC,\Delta CDE$ cân tại $C$

$\to \widehat{MND}=\widehat{CED}=\widehat{CDE}=\widehat{MDN}$

$\to\Delta MDN$ cân tại $M$

$\to MD=MN$

Mà $MD=AE\to MN=AE$

Xét $\Delta KAE,\Delta KMN$ có:

$\widehat{KAE}=\widehat{KMN}$ vì $MN//AC$

$AE=MN$

$\widehat{KEA}=\widehat{KNM}$ vì $MN//AC$

$\to \Delta KAE=\Delta KMN(g.c.g)$

$\to KA=KM$

$\to K$ là trung điểm $AM$

c.Từ câu b $\to IA=IM, KA=KM$

Kẻ $IF\perp AB\to IE=IF\to AF=\sqrt{AI^2-IF^2}=\sqrt{AI^2-IE^2}=AF, BF=\sqrt{IB^2-IF^2}=\sqrt{IB^2-ID^2}=DB$

$\to BA=BF+FA=BD+AE=BD+DM=BM$

Vì $BA=BM, IA=IM, KA=KM\to B, I, K\in$ trung trực $AM$

$\to B, I, K$ thẳng hàng