Một người cần phải chèo thuyền từ vị trí 4 đến vị trí C trên bờ BD, sau đó chạy bộ từ C đến B. Biết rằng vận tốc chèo thuyền bằng 6km/h, vận tốc chạy bộ là 8km/h, khoảng cách từ vị trí 4 đến bờ BD bằng 3km, khoảng cách hai vị trí B,D bằng 8km( hình vẽ bên dười) . Tính khoảng cách lớn nhất giữa hai vị trí B,C biết rằng tổng thời gian người đó chèo thuyền và chạy bộ là 1 giờ 20 phút.

Đáp án:

` \frac{36}{7}` km

Giải thích các bước giải:

 Gọi quãng đường `AC` là `x` (km); quãng đường `BC` là `y` (km) `(x>3; 0<y<8)`

`=>` quãng đường `DC=8-y (km)`

`ΔADC` vuông tại `D => AC^2=AD^2 + DC^2`

                             `<=> x^2 = 3^2 + (8-y)^2`  (1)

Thời gian chèo thuyền từ `A` đến `C` là: `\frac{x}{6}` (giờ)

Thời gian đi bộ từ `C` đến `B` là: `\frac{y}{8}` (giờ)

Vì tổng thời gian chèo thuyền và đi bộ là `1` giờ `20` phút `= 4/3` giờ nên ta có phương trình:

`x/6 + y/8 = 4/3`   (2)

Từ (1) (2) ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {x^2} = {3^2} + {(8 - y)^2}\\ \dfrac{x}{6} + \dfrac{y}{8} = \dfrac{4}{3} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} = 9 + 64 - 16y + {y^2}\\ \dfrac{{4x}}{{24}} + \dfrac{{3y}}{{24}} = \dfrac{{32}}{{24}} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - {y^2} + 16y = 73\\ 4x + 3y = 32 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {\dfrac{{32 - 3y}}{4}} \right)^2} - {y^2} + 16y = 73\\ x = \dfrac{{32 - 3y}}{4} \end{array} \right. \end{array}$

Xét ${\left( {\dfrac{{32 - 3y}}{4}} \right)^2} - {y^2} + 16y = 73$

$\begin{array}{l} {\left( {\dfrac{{32 - 3y}}{4}} \right)^2} - {y^2} + 16y = 73\\ \Leftrightarrow \dfrac{{1024 - 192y + 9y{}^2}}{{16}} - {y^2} + 16y = 73\\ \Leftrightarrow 1024 - 192y + 9y{}^2 - 16{y^2} + 256y = 1168\\ \Leftrightarrow 7{y^2} - 64y + 144 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {7y - 36} \right)\left( {y - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y = \dfrac{{36}}{7} \Rightarrow x = \dfrac{{29}}{7}(TM)\\ y = 4 \Rightarrow x = 5(TM) \end{array} \right. \end{array}$

Chọn khoảng cách `BC` lớn nhất tức là y lớn nhất, ta chọn `x=\frac{29}{7}; y= \frac{36}{7}`

Vậy khoảng cách `BC` lớn nhất là `\frac{36}{7} km`