Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH a) Chứng minh: `HA^2 = HB . HC` b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AH và BH. Chứng minh rằng: - Tam giác AHN đồng dạng với tam giác CHM - AN vuông góc với CM

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

a)

Xét tam giác ABH và tam giác CAH:

BHA=AHC=90B=A1​​(cuˋng phụ C)⇒ABH = CAH(g.g)

b)

Xét ABC và HBA có:

A=H=90.

B chung.

=> ABC = HBA (g.c.g).

 

=>BHAB​=AHAC​(2 cặp cạnh tương ứng của 2)

=>ACAB​=AHBH​

vì M là trung điểm của BH (gt) => BH = 2MB

vì N là trung điểm của AH (gt) => AH = 2AN

Ta có:ACAB​=AHBH​

=>ACAB​=2AN2MB​

=>ACAB​=ANMB​(1)

Xét AHC vuông tại H có :

HAC+BCA=90

Xét ABC vuông tại A có :

ABC+BCA=90

=> HAC=ABC (cùng phụ với góc BCA)

hay NAC=ABM

=> ABM=NAC (2)

từ (1) và (2) => ABM ~ CAN (c.g.c)

c)

Xét ABH có :

M là trung điểm của BH (gt)

N là trung điểm của AH (gt)

=> MN là đường trung bình của ABH

=> MN // AB (t/c đường trung bình trong )

mà AB ⊥ AC (vì BAC=90 theo GT).

=> MN ⊥ AC.

Xét MAC có :

MN ⊥ AC (CMT)

AH ⊥ MC (GT).

mà 2 đường cao này giao nhau tại N.

=> N là trực tâm của MAC.

=> CN ⊥ AM.