Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB=a, BC=2a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (SAG) tạo với đáy một góc 60 độ. Tính thể tích khối tứ diện ACGS.

Đáp án:

${V_{S.AGC}} = \dfrac{{{a^3}}}{{36}}$

Giải thích các bước giải:

Gọi H là trung điểm của AB; Kẻ $HD\bot AG=D$; gọi E là trung điểm của BC.

Ta có:

Do (SAB) nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và tam giác SAB cân ở S $\to SH\bot (ABC)$

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
AG \bot HD\\
AG \bot SH
\end{array} \right. \Rightarrow AG \bot \left( {SHD} \right) \Rightarrow AG \bot SD\\
 \Rightarrow \left( {\left( {SAG} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SD,HD} \right) = \widehat {SDH} = {60^0}
\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {ADH} = \widehat {ABE} = {90^0}\\
\widehat Achung
\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ADH \sim \Delta ABE\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AE}} = \dfrac{{HD}}{{EB}}\\
 \Rightarrow HD = EB.\dfrac{{AH}}{{AE}} = \dfrac{{BC}}{2}.\dfrac{{\dfrac{{AB}}{2}}}{{\sqrt {A{B^2} + {{\left( {\dfrac{{BC}}{2}} \right)}^2}} }} = \dfrac{{2a}}{2}.\dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{a}{{2\sqrt 2 }}
\end{array}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\Delta SHD;\widehat {SHD} = {90^0};\widehat {SDH} = {60^0};HD = \dfrac{a}{{2\sqrt 2 }}\\
 \Rightarrow SH = HD.\tan \widehat {SDH} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}
\end{array}$

Lại có:

${S_{AGC}} = \dfrac{2}{3}{S_{AHC}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.AB.BC = \dfrac{1}{6}.a.2a = \dfrac{{{a^2}}}{3}$

$ \Rightarrow {V_{S.AGC}} = \dfrac{1}{3}.SH.{S_{AGC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}.\dfrac{{{a^2}}}{3} = \dfrac{{{a^3}}}{{36}}$

Vậy ${V_{S.AGC}} = \dfrac{{{a^3}}}{{36}}$