Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D là điểm thuộc cạnh BC sao cho BD = BA và H là trung điểm của AD. Tia BH cắt AC tại E. Tia DE cắt tia BA tại M. a) Chứng minh rằng: và tam giác AED cân. b) Chứng minh: EM>ED c) Qua điểm D kẻ đường thẳng song song với BE cắt AC tại F. Gọi K là giao điểm của DE và HF. Chứng minh rằng KD = 2KE.

Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ABE,\Delta DBE$ có:

Chung $BE$

$\widehat{ABE}=\widehat{DBE}$

$BA=BD$

$\to \Delta BAE=\Delta BDE(c.g.c)$

$\to EA=ED$

$\to \Delta ADE$ cân tại $E$

b.Từ câu a $\to \widehat{EDB}=\widehat{EAB}=90^o\to DE\perp BC$

Xét $\Delta EDC,\Delta EAM$ có:

$\widehat{DEC}=\widehat{AEM}$

$ED=EA$

$\widehat{EDC}=\widehat{EAM}(=90^o)$

$\to \Delta EDC=\Delta EAM(g.c.g)$

$\to EM=EC$

Mà $ED\perp BC\to ED<EC\to ED<EM$

c.Ta có: $BA=BD\to \Delta BAD$ cân tại $B, BH$ là phân giác $\hat B\to BH$ đồng thời là trung tuyến $\Delta ABD$

$\to H$ là trung điểm $AD$

Mặt khác $BH$ đồng thời là đường cao $\Delta ABD\to BH\perp DA$

Mà $AD\perp DF\to BH//DF$

$\to \widehat{EDF}=\widehat{BED}=\widehat{BEA}=\widehat{EFD}\to \Delta EDF$ cân tại $E\to ED=EF$

Mà $EA=ED$

$\to EA=EF$

$\to E$ là trung điểm $AF$

Lại có: $FH\cap DE=K\to K$ là trọng tâm $\Delta ADF$

$\to KD=2KE$