Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AC=40cm đường tròn (0;4cm) nội tiếp tam giác ABC tính độ dài cạnh AB của tam giác ABC?

Đáp án: `AB = 9`

Giải thích các bước giải:

Ta có công thức tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác vuông:

`r = (2S)/(a+b+c)`

(Với `r` là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác vuông

`S` là diện tích tam giác

`a,b,c` là các cạnh của tam giác vuông)

Vậy theo bài ra: `AC = 40` cm và

bán kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông `ABC` là `r=4` cm

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

Theo định lý Pitago:

`AB^2 + AC^2 = BC^2`

`<=> AB^2 + 40^2 =BC^2`

`<=> BC = sqrt(AB^2 + 40^2 )= sqrt(AB^2 + 1600 )`  cm

Diện tích tam giác `ABC` là:

`AB . AC : 2 = 40.AB : 2 = 20` AB

(do `AC = 40` cm theo đề bài)

Áp dụng công thức: `r = (2S)/(a+b+c)`

`=> 4 = (2 . 20.AB)/(AB+AC+BC)`

`<=> 4 = (40.AB)/(AB+40+sqrt(AB^2 + 1600 ))`

Gọi `AB\ = x (x>0)`

`4 = (40.x)/(x+40+sqrt(x^2 + 1600 ))`

`4(x + 40 + sqrt(x^2 + 1600)) = 40x`

`4x + 160 + 4sqrt(x^2 + 1600) = 40x`

`4sqrt(x^2 + 1600) = 36x - 160`

Bình phương `2` vế

`16(x^2 + 1600) = (36x - 160)^2`

`16x^2 + 25600 = 1296x^2 - 11520x + 25600`

`1280x^2 - 11520x = 0`

`x(1280x - 11520) = 0`

`x = 0` hoặc `x = 9`

Tuy nhiên, ta thấy `x = 0` không thể là giá trị đáp án vì cạnh của một tam giác không thể bằng `0` được

`=> x = 9`

`=> AB = 9` (cm)