Cho phương trình : `mx^2-(m+3)x+2m+1=0` `a)` Tìm m để phương trình có hiệu 2 nghiệm `x1,x2` bằng `2` `b)` Tìm hệ thức liên hệ giữa `x1,x2` không phụ thuộc vào `m`

Đáp án:

`a, \ \ m in {1;-9/11}` 

Giải thích các bước giải:

`mx^2-(m+3)x+2m+1=0 qquad qquad (**)`

`a,`

`TH_1: \ \ m=0`

`(**) <=> -3x+1=0`

`<=> -3x=-1`

`<=> x=1/3 qquad qquad text{(Loại)}`

`TH_2: \ \ m ne 0`

$\Delta=$`(m+3)^2-4m(2m+1)`

`=m^2+6m+9-8m^2-4m`

`=-7m^2+2m+9`

Phương trình `(**)` có `2` nghiệm `x_1;x_2` khi $\Delta$`>=0`

`<=> -7m^2+2m+9>=0`

`<=> m^2-2/7m-9/7<=0`

`<=> (m+1)(m-9/7)<=0`

Vì `m+1>m-9/7 qquad AAm`

`=> `$\begin{cases}m+1 \geq0\\m-\dfrac{9}{7} \leq0\end{cases}$`<=>` $\begin{cases}m \geq-1\\m\leq\dfrac{9}{7} \end{cases}$`<=> -1<=m<=9/7`

Theo hệ thức Vi-et: $\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{m+3}{m}\\x_1 x_2=\dfrac{2m+1}{m}\end{cases}$

Theo bài ra, ta có: `|x_1-x_2|=2`

`<=> (x_1-x_2)^2=4`

`<=> (x_1+x_2)^2-4x_1 x_2=4`

`<=> ((m+3)/m)^2-4 . (2m+1)/m=4`

`<=> ((m+3)^2-4m(2m+1))/(m^2)=(4m^2)/(m^2)`

`=> (m+3)^2-4m(2m+1)=4m^2`

`<=> m^2+6m+9-8m^2-4m-4m^2=0`

`<=> -11m^2+2m+9=0`

Vì `a+b+c=-11+2+9=0 =>` Phương trình có `2` nghiệm:

`m_1=1 quad (TM) \ ; \ m_2=c/a=-9/11 quad (TM)`

Vậy với `m in {1;-9/11}` thì phương trình có hiệu `2` nghiệm `x_1,x_2` bằng `2.`

`b,`

Theo câu `a:` phương trình có `2` nghiệm `x_1,x_2` khi `-1<=m<=9/7`

Theo hệ thức Vi-et: $\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{m+3}{m}\\x_1 x_2=\dfrac{2m+1}{m}\end{cases}$`=>`$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{m+3}{m}\\3x_1 x_2=\dfrac{6m+3}{m}\end{cases}$

`=> x_1+x_2-3x_1x_2=(m+3)/m-(6m+3)/m=(m+3-6m-3)/m=(-5m)/m=-5`

Vậy `x_1+x_2-3x_1x_2=-5` không phụ thuộc vào `m.`