Cho tam giác ABC, G là trọng tâm của tam giác. Gọi E, F, H lần lượt là trung điểm của AG, BG, CG. Chứng minh các tam giác EFH và ABC đồng dạng với nhau và G là trọng tâm của tam giác EFH

$\text{→ Đáp án + Giải thích các bước giải:}$

$\text{→ Giả sử ban đầu G là giao điểm của 3 đường}$

$\text{trung tuyến CM , BN , AP ( M , N , P $\in$ Δ ABC ).}$

$\text{- Xét ΔAGB có :}$

$\text{+) EA = EG ( GT ).}$

$\text{+) FG = FB ( GT ).}$

$\text{⇒ EF là đường trung bình.}$

$\text{⇒ EF = $\dfrac{AB}{2}$. ( Tính chất đường trung bình ).     ( 1 )}$

$\text{→ Tương tự với ΔAGC và ΔBGC có :}$

$\text{+) EH = $\dfrac{AC}{2}$       ( 2 )}$

$\text{+) FH = $\dfrac{BC}{2}$      ( 3 )}$

$\text{→ Từ ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) ta suy ra :}$

$\text{+) ΔEFH $\backsim$ ΔABC ( c - c - c ).                 ( ĐPCM ).}$

$\text{→ Gọi K , P , T lần lượt là giao điểm của EF và CM,}$

$\text{HF và AP, EH và BN.}$

$\text{- Xét ΔGAM có :}$

$\text{+) EA = EG ( GT )}$

$\text{+) EK // AM ( GT ).}$

$\text{⇒ KM = KG ( đường trung bình ).}$

$\text{→ Tương tự với ΔGPB và ΔGNC ta được :}$
$\text{+) TP = TG.}$

$\text{+) GP = PN.}$

$\text{→ Lại có G là trọng tâm trong ΔABC, ta suy ra :}$

$\text{+) GC = $\dfrac{2}{3}$MC.}$

$\text{+) MG = $\dfrac{1}{3}$MC.}$

$\text{→ Mặt khác H là trung điểm GC.}$

$\text{⇒ MG = HG = HC = $\dfrac{1}{3}$MC.}$

$\text{→ Ta có :}$

$\text{MG = GH}$

$\text{⇒ MG + KG = GH + KG}$

$\text{⇒ 2KG + KG = KH}$

$\text{⇒ 3KG = KH}$

$\text{⇒ KG = $\dfrac{KH}{3}$      ( * )}$

$\text{→ Tương tự ta cũng có :}$

$\text{+) GP = $\dfrac{PF}{3}$       ( ** )}$

$\text{+) GT = $\dfrac{ET}{3}$        ( *** ).}$

$\text{→ Từ ( * ) , ( ** ) , ( *** ) ta suy ra :}$

$\text{G là trọng tâm ΔEFH.      ( ĐPCM )}$