Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có tâm `I(2;1;-1)`, tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ (Oyz). Phương trình mặt cầu (S) là:

Đáp án + giải thích :
Ta biết rằng mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ (Oyz), tức là đường trung tuyến của đoạn thẳng nối tâm I và điểm tiếp xúc của mặt cầu với mặt phẳng (Oyz) song song với trục Ox.

Vì điểm tiếp xúc của mặt cầu với mặt phẳng (Oyz) nằm trên trục Oy, ta có toạ độ của nó là (0, a, b).

Do đó, đường trung tuyến của đoạn thẳng nối tâm I và điểm này sẽ là đường thẳng có phương trình:

x - 2 = y - 1 = z + 1

Phương trình mặt cầu (S) có dạng:

(x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 1)^2 = R^2

Trong đó R là bán kính của mặt cầu (S).

Ta thấy rằng điểm nằm trên đường thẳng trên cũng nằm trên mặt cầu (S), suy ra đường thẳng trên là đường kính của mặt cầu. Vậy, để tìm được bán kính R của mặt cầu (S), ta chỉ cần tính khoảng cách giữa tâm I và điểm (0, a, b) rồi chia đôi.

Ta có:

Khoảng cách giữa I và điểm (0, a, b):
d = sqrt((2 - 0)^2 + (1 - a)^2 + (-1 - b)^2) = sqrt(a^2 + b^2 - 2a + 6)

Bán kính của mặt cầu (S):
R = d/2 = sqrt(a^2 + b^2 - 2a + 6)/2

Vậy phương trình của mặt cầu (S) là:
(x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 1)^2 = (a^2 + b^2 - 2a + 6)/4