Với n là số tự nhiên, chứng minh rằng n^2+2022 không phải là số chính phương

Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp phản chứng. Giả sử n^2 + 2022 là một số chính phương, tức là tồn tại một số tự nhiên k sao cho:

n^2 + 2022 = k^2

Suy ra:

n^2 = k^2 - 2022

và

(n + k)(k - n) = 2022

Bởi vì 2022 = 2 × 3 × 337, nên có thể viết (n + k) và (k - n) dưới dạng nhân các số tự nhiên khác nhau:

(n + k)(k - n) = 2 × 3 × 337

Vì (n + k) > (k - n), ta có thể liệt kê các trường hợp sau cho (n + k) và (k - n):

- (n + k) = 2 × 337 và (k - n) = 3 hoặc ngược lại
- (n + k) = 3 × 337 và (k - n) = 2 hoặc ngược lại.

Tuy nhiên, trong cả hai trường hợp này, ta đều sẽ không tìm được giá trị của n và k là số tự nhiên, vì nếu tính hiệu của hai số (n + k) và (k - n) thì sẽ được một số lẻ, trong khi 2, 3 và 337 đều là số chẵn.

Do đó, giả thuyết ban đầu sai và n^2 + 2022 không phải là số chính phương.