Cho tam giác ABC vuông ở A có AB= 6 BC=10 phân giác của góc B cắt AC ở D Kẻ AH vuông góc với BD Gọi M và N theo tứ tự là hình chiếu của H trên AC, AB a-Tính AC và Cos góc ABC b-Tính AD c-Tính diện tích tứ giác ANHM

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) Xét ΔABC vuông tại A có :

+, AC ² = BC ² - AB ² (Định lý Pytago)

⇒ AC ² = 10 ² - 6 ² = 64

⇒ AC = 8 (cm) (AC > 0)

+, cos ABC = $\frac{AB}{BC}$ (Tỉ số lượng giác)

⇒ cos ABC = $\frac{6}{10}$

b) Xét ΔABC có :

BD là đường phân giác

⇒ $\frac{AD}{DC}$ = $\frac{AB}{BC}$

⇒ $\frac{AD}{AB}$ =$\frac{DC}{BC}$

⇒ $\frac{AD}{6}$ = $\frac{DC}{10}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

$\frac{AD}{6}$ = $\frac{DC}{10}$ = $\frac{AD+DC}{6+10}$ = $\frac{AC}{16}$ = $\frac{8}{16}$ = $\frac{1}{2}$

⇒ $\frac{AD}{6}$ = $\frac{1}{2}$ ⇒ 2AD = 6 ⇒ AD = 3 (cm)

c) Xét tứ giác ANHM có :

A = 90 ( ΔABC vuông tại A)

ANH = 90 (HN vuông góc AB)

AMH = 90 (HM vuông góc AC)

⇒ Tứ giác ANHM là hình chữ nhật

+, Xét ΔABD vuông tại A có :

BD ² = AD ² + AB ² (Định lý Pytago)

⇒ BD ² = 3 ² + 6 ² = 45

⇒ BD =3 $\sqrt[]{5}$ (cm) (BD > 0)

AH.BD = AB.AD (Hệ thức lượng)

⇒ AH.3 $\sqrt[]{5}$ = 6.3 ⇒ AH = $\frac{ 6\sqrt[]{5}}{5}$ (cm)

+, Xét ΔAHB vuông tại H có :

AN = $\frac{AH^{2}}{AB}$ (Hệ thức lượng)

⇒ AN = $\frac{(\frac{6\sqrt[]{5}}{5})^{2}}{6}$

⇒ AN = $\frac{6}{5}$ (cm)

+, Xét ΔANH vuông tại N có :

NH ² = AH ² - AN ² (Định lý Pytago)

⇒ NH ² = ($\frac{ 6\sqrt[]{5}}{5}$)$^{2}$ - ($\frac{6}{5}$)$^{2}$ = $\frac{144}{25}$

⇒ NH = $\frac{12}{5}$ (cm) (NH > 0)

SANHM = AN.NH = $\frac{6}{5}$.$\frac{12}{5}$ = $\frac{72}{25}$ (cm ²)