Đội cờ đỏ 1 trường có 10 nam 5 nữ. Từ đội cờ đỏ, đoàn trường lập đội thanh niên xung kích gồm 5 học sinh trong đó 1 đội trưởng nam, 1 đội phó nam, và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách thành lập đội thanh niên xung kích như trên?

Trước hết, ta cần tính số cách chọn 5 học sinh từ đội cờ đỏ, không quan tâm đến giới tính của họ. Số cách này được tính bằng công thức tổ hợp chập 5 của 15:

C(15, 5) = 3003

Tiếp theo, ta tính số cách chọn 5 học sinh với điều kiện có ít nhất 1 nữ. Ta sẽ tính số cách không chọn nữ nào, rồi trừ số này đi tổng số cách chọn 5 học sinh mà không quan tâm giới tính.

Số cách chọn 5 học sinh mà không chọn nữ nào là C(10, 5) = 252, vì trong đội cờ đỏ có 10 nam. Do đó, số cách chọn 5 học sinh với điều kiện có ít nhất 1 nữ là:

C(15, 5) - C(10, 5) = 3003 - 252 = 2751

Tiếp theo, ta tính số cách chọn đội trưởng và đội phó nam từ trong số các nam trong đội thanh niên xung kích. Vì đội trưởng và đội phó nam đã được chỉ định, nên ta chỉ cần chọn 3 học sinh khác trong số 7 nam và 5 nữ còn lại trong đội cờ đỏ.

Số cách chọn đội trưởng và đội phó nam là: C(10, 2) = 45

Số cách chọn 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ trong số 7 nam và 5 nữ là:

C(7, 3) * C(5, 2) = 210

Vậy số cách thành lập đội thanh niên xung kích như yêu cầu của bài toán là:

45 * 210 * 2751 = 25680525

Đáp số là 25680525.

Chú thích : C(a, b)=$\frac{a!}{b!x(a-b)!}$