Cho tam giác ABC vuông tại A , AB<AC , I là trung điểm BC , trung trực của BC cắt AC tại E . trên tia đối tia AC lấy điểm D sao cho AD=AE a) CMR : góc BDE =2 góc ACB b) BD cắt AI tại M , CMR : MD=AD và MB = AC c) CMR : DE<BC d) tìm điều kiện của tam giác ABC để AI vuông BE mn giúp mik vs mik đg cần cấp =))

Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $EI\perp BC=I\to EI$ là trung trực $BC\to EB=EC\to \Delta EBC$ cân tại $E$

$\to \widehat{EBC}=\widehat{ECB}$

$\to \widehat{BED}=\widehat{EBC}+\widehat{ECB}=2\widehat{ECB}=2\widehat{ACB}$

Xét $\Delta ABD,\Delta ABE$ có:
Chung $AB$

$\widehat{BAD}=\widehat{BAE}(=90^o)$

$AD=AE$

$\to\Delta ABD=\Delta ABE(c.g.c)$

$\to \widehat{BDA}=\widehat{BEA}=2\widehat{ACB}$

$\to \widehat{BDE}=2\widehat{ACB}$

b.Ta có: $\Delta BAC$ vuông tại $A, I$ là trung điểm $BC$

$\to AI=IB=IC=\dfrac12BC$

$\to \Delta IAC$ cân tại $I$

$\to \widehat{IAC}=\widehat{ICA}$

$\to \widehat{BDA}=2\widehat{ACB}=2\widehat{ACI}=2\widehat{IAC}=2\widehat{DAM}$

$\to \widehat{BDA}-\widehat{DAM}=\widehat{DAM}$

$\to \widehat{DMA}=\widehat{DAM}$

$\to \Delta DAM$ cân tại $D\to DM=DA$

Ta có: $BD^2=BA^2+AD^2=BA^2+AE^2=BE^2\to BD=BE=EC$

$\to BM=BD+DM=CE+AE=AC$

c.Ta có: 

$\widehat{AEI}=\widehat{EIC}+\hat C>\widehat{EIC}=90^o\to \Delta AEI$ tù tại $E$

$\to AE<IA$

$\to DE=2AE<2AI=BC$

d.Kẻ $DF\perp AM$

Vì $\Delta DAM$ cân tại $D\to F$ là trung điểm $AM, DF$ là phân giác $\widehat{MDA}$

Để $AI\perp BE\to DF//BE$

Gọi $AI\cap BE=G$

$\to\widehat{EBC}= \hat C=\widehat{IAC}=\widehat{GAE}=90^o-\widehat{AEG}=90^o-\widehat{AEB}=\widehat{ABE}$

$\to BE$ là phân giác $\hat B$
$\to \widehat{ABC}=2\widehat{EBC}=2\hat C$

$\to \hat B=2\hat C$

$\to \hat B+\hat C=3\hat C$

$\to 90^o=3\hat C$

$\to \hat C=30^o$