Cho hình vuông ABCD. Gọi K là điểm nằm giữa A và B, I là điểm nằm giữa B và C sao cho BK = CI. Đường thẳng AI cắt DC tại M a. Chứng minh: IK // BM b. Gọi N là giao điểm thuộc tia đối tia CB sao cho CN = CM, O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông ABCD. Chứng minh: `Delta BOI` đồng dạng với `Delta BND`

Đáp án:

a) $ABCD$ là hình vuông (giả thiết).

$\Rightarrow AB=BC$ (hai cạnh kề bằng nhau).

Mà $BK=CI\Rightarrow AB-BK=BC-CI\Rightarrow AK=BI$.
Có $BK=CI$ và $AK=BI\Rightarrow\dfrac{AK}{BK}=\dfrac{BI}{IC}$.
Xét hai tam giác vuông $\Delta ABI$ và $\Delta MCI$ có:

$\widehat{AIB}=\widehat{MIC}$ (đối đỉnh).

$\Rightarrow\Delta ABI\backsim\Delta MCI$ (góc-góc).
$\Rightarrow\dfrac{AI}{MI}=\dfrac{BI}{IC}$ (cặp tỉ lệ tương ứng).
Mà $\dfrac{AK}{BK}=\dfrac{BI}{IC}\Rightarrow \dfrac{AK}{BK}=\dfrac{AI}{MI}$.
Xét $\Delta ABM$ ($I\in AM,K\in AB$) có:
$\dfrac{AK}{BK}=\dfrac{AI}{MI}$ (chứng minh trên).
$\Rightarrow IK//BM$ (định lý Thales đảo).

b) Hình vuông $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $O$

$\Rightarrow  OB=OC$ (giao điểm đường chéo hình vuông).

Hình vuông $ABCD$ có đường chéo $BD$.

$\Rightarrow \widehat{ABD}=45^\circ$ (đường chéo chia đôi góc vuông).

$\Rightarrow\widehat{OBK}=45^\circ$ ($O\in BD,K\in AB$).

Hình vuông $ABCD$ có đường chéo $AC$.

$\Rightarrow\widehat{ACB}=45^\circ$ (đường chéo chia đôi góc vuông).

$\Rightarrow\widehat{OCI}=45^\circ$ ($O\in AC,I\in BC$).

Xét hai tam giác $\Delta BKO$ và $\Delta OCI$ ta có:

$OB=OC$ (chứng minh trên).

$\widehat{OBK}=\widehat{OCI}(=45^\circ$).

$BK=IC$ (giả thiết).

$\Rightarrow\Delta BKO=\Delta OCI$ (cạnh-góc-cạnh).

$\Rightarrow OK=OI$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow\widehat{BOK}=\widehat{IOC}$ (hai góc tương ứng).

Ta có $AC\,\bot\,BD$ (hai đường chéo vuông góc).

$\Rightarrow BO\,\bot\,OC\Rightarrow \widehat{BOC}=90^\circ$.

$\Rightarrow\widehat{IOB}+\widehat{IOC}=90^\circ$

$\Rightarrow\widehat{IOB}+\widehat{BOK}=90^\circ$

$\Rightarrow\widehat{IOK}=90^\circ\Rightarrow\Delta KOI$ vuông tại $O$

Mà $\Delta KOI$ cân tại $O$ ($OK=IO$, chứng minh trên).

$\Rightarrow \Delta KOI$ vuông cân $\Rightarrow\widehat{OIK}=45^\circ$.

Gọi $OI\cap BM=F$. Ta có $IK//BM$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow\widehat{OIK}=\widehat{BFI}$ (cặp góc đồng vị).

$\Rightarrow\widehat{BFI}=45^\circ$ (do $\widehat{OIK}=45^\circ$).

Mà $\widehat{OCI}=45^\circ\Rightarrow\widehat{OCI}=\widehat{BFI}$.

Xét hai tam giác $\Delta OCI$ và $\Delta BFI$ ta có:

$\widehat{OCI}=\widehat{BFI}$ (chứng minh trên).

$\widehat{OIC}=\widehat{BIF}$ (cặp góc đối đỉnh).

$\Rightarrow\Delta OCI\backsim\Delta BFI$ (góc-góc).
$\Rightarrow\dfrac{IO}{IF}=\dfrac{BI}{IC}$ (cặp tỉ lệ tương ứng).
Xét hai tam giác $\Delta BOI$ và $\Delta ICF$ ta có:

$\widehat{OIB}=\widehat{CIF}$ (cặp góc đối đỉnh).
$\dfrac{IO}{IF}=\dfrac{BI}{IC}$ (chứng minh trên).
$\Rightarrow\Delta BOI\backsim\Delta ICF$ (cạnh-góc-cạnh).

$\Rightarrow\widehat{BOI}=\widehat{ICF}$ (hai góc tương ứng).

$\Rightarrow\widehat{OBI}=\widehat{CFI}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{OBI}=45^\circ$ (đường chéo chia đôi góc vuông).

$\Rightarrow\widehat{CFI}=45^\circ=\widehat{BFI}$ ($\widehat{BFI}=45^\circ$).

$\Rightarrow\widehat{CFI}+\widehat{BFI}=45^\circ+45^\circ$

$\Rightarrow\widehat{BFC}=90^\circ$ (cặp góc kề nhau).

Xét hai tam giác vuông $\Delta BCF$ và $\Delta BMC$ có:

$\widehat{FBC}=\widehat{BCM}$ ($F\in BM$).

$\Rightarrow\Delta BCF\backsim\Delta BMC$ (góc-góc).

$\Rightarrow\widehat{BCF}=\widehat{BMC}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{BOI}=\widehat{BCF}\Rightarrow\widehat{BOI}=\widehat{BMC}$.

Xét hai tam giác vuông $\Delta BCM$ và $\Delta CDN$ ta có:

$BC=CD$ ($ABCD$ là hình vuông).

$CM=CN$ (giả thiết).

$\Rightarrow\Delta BCM=\Delta CDN$ (cạnh-góc-cạnh).

$\Rightarrow\widehat{BMC}=\widehat{CND}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{BOI}=\widehat{BMC}\Rightarrow\widehat{BOI}=\widehat{CND}$

$\Rightarrow\widehat{BOI}=\widehat{BND}$ ($BC\equiv NC$).

Xét hai tam giác $\Delta BOI$ và $\Delta BND$ có:

$\widehat{BOI}=\widehat{BND}$ (chứng minh trên).

$\widehat{IBO}=\widehat{NBD}$ ($I\in BN,O\in BD$).

$\Rightarrow\Delta BOI\backsim\Delta BND$ (góc-góc).