Cho x,y là 2 số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức P = $\frac{x+ y}{\sqrt[]{x(2x + y)} + \sqrt[]{y(2y + x)}}$

Ta có `sqrt{x(2x+y)}`

     `=sqrt{3x(2x+y)}/sqrt{3}`

Áp dụng bđt Cauchy ta có

`sqrt{3x(2x+y)}le(5x+y)/2`

`⇒sqrt{3x(2x+y)}/sqrt{3}le(5x+y)/(2sqrt{3})`

C/m tương tự `sqrt{3y(2y+x)}/sqrt{3}le(5y+x)/(2sqrt{3})`

`⇒sqrt{x(2x+y)}+sqrt{y(2y+x)}le[6(x+y)]/(2sqrt{3})=(x+y)/(sqrt{3}`

`⇒Pge1/sqrt{3}=sqrt{3}/3`

Dấu `=` xảy ra khi `x=y`

Vậy `P_(min)=sqrt{3}/3`