`x^2-4x+m+5=0` tìm đk để pt có 2 nghiệm dương

Đáp án:

`-` Đôi lời muốn nói : Do đã rời xa mái trường lâu rồi không còn nhớ cách giải ngắn gọn nhưng có cách khác là dùng $\rm  ac<0$ và xác nhận xem thêm $\rm  Δ=0$ có thỏa không sẽ ngắn hơn. Nhưng không nhớ rõ nên làm theo kiểu mò.

$\rm  TH_1:$ Có nghiệm kép.

`-` Phương trình có nghiệm kép khi :

$\rm  Δ'=b'^2-ac=(-2)^2-(m+5)=4-m-5=-m-1=0$

`=>`$\rm  m=-1$

`-` Khi $\rm  m=-1$ phương trình có nghiệm kép là :

$\rm  x_1=x_2=\dfrac{-b'}{a}=\dfrac{-(-2)}{1}=2$

$\rm  TH_2:$ Có $\rm  2$ nghiệm phân biệt.

`-` Phương trình có $\rm  2$ nghiệm phân biệt:

$\rm  Δ'=-m-1>0$

`=>`$\rm  m<-1$

`-` Khi $\rm  m<-1$ phương trình có `2` nghiệm phân biệt  là :

$\rm  \bullet$$\rm  x_1=\dfrac{-b'+\sqrt{Δ'}}{a}=\dfrac{2+\sqrt{-m-1}}{1}$

`-` $\rm  x_1>0$ khi 

$\rm  \dfrac{2+\sqrt{-m-1}}{1}>0$

`<=>`$\rm  \sqrt{-m-1}>-2$

`+` Kết hợp với điều kiện đầu thì bất đẳng thức luôn đúng với $\rm  m<-1$

$\rm  \bullet$$\rm  x_2=\dfrac{-b'-\sqrt{Δ'}}{a}=\dfrac{2-\sqrt{-m-1}}{1}$

`-` $\rm  x_2>0$ khi 

$\rm  \dfrac{2-\sqrt{-m-1}}{1}>0$

`<=>`$\rm  -\sqrt{-m-1}>-2$

`<=>`$\rm \sqrt{-m-1}>2 $

`<=>`$\rm  -m-1>4$

`<=>`$\rm  m>-5$

`+` Kết hợp với điều kiện lúc đầu `=>`$\rm  -5 <m < -1$

`-` Tổng hợp các điều kiện ở cả `2` trường hợp thì $\rm  -5 < m \leq -1$

Vậy với $\rm  -5 < m \leq -1$ hay $\rm  m=$`{-4,-3,-2,-1}` thì phương trình có $\rm  2$ nghiệm dương.